11线性变换与二阶矩阵

线性变换与二阶矩阵选修4－2yxOOyx30o23212123在平面直角坐标系中，平面内的点平面内的曲线有序实数对方程平面内的图形变换数形温故知新一、旋转变换问题情境假设大风车的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如上图。OxyOxyaqP’(x’，y’)P(x，y)已知大风车上一点P(x，y)，它围绕旋转中心O逆时针旋转q角到另外一点P’(x’，y’).问题情境旋转前后叶片上的点的位置变化可以看做是一个几何变换.r思考：点P与P’的坐标之间有何关系？我们称是在这个旋转变换作用下的像.PP旋转变换在直角坐标系xOy内，所有点都绕原点O按逆时针方向旋转1800，设点P(x,y)经过旋转后变成点P＇(x＇,y＇)，则它们坐标之间存在什么关系？yyxx),(yxP),(yxP旋转角为180o的旋转变换①),(yxP),(yxPOyx试一试：点A（1，0）在旋转角为180o的旋转变换作用下的像A'是______.?变式1：点A（1，0）在旋转角为30o的旋转变换作用下的像A'是______.?变式2：点A（x,y）在旋转角为30o的旋转变换作用下的像A'是______.?(1,0)A31(,)22A3113(,)2222Axyxy问题：任意点P(x,y)绕原点O逆时针方向旋转α角变成点P’(x’,y’)，它们的坐标之间存在什么关系？),(yxP),(yxPOyxaacossinsincosxxyyxayaaa在平面直角坐标系xOy内，形如（其中均为常数）的几何变换叫做线性变换,③式叫做这个线性变换的坐标变换公式.dcba,,,dycxybyaxx……③正方形数表称为二阶矩阵.cadb线性变换二阶矩阵cadbdycxybyaxx一一对应几点说明2.矩阵通常用大写的英文字母A，B，C…表示；1.二阶矩阵中的数称为矩阵的元素；cadbdcba,,,3.元素全为0的二阶矩阵称为零矩阵，简记为0；0000矩阵称为二阶单位矩阵，记为E2.0110问题：任意点P(x,y)绕原点O逆时针方向旋转α角变成点P’(x’,y’)，它们的坐标之间存在什么关系？),(yxP),(yxPOyxacossinsincosxxyyxayaaa旋转变换aaaacossinsincos旋转变换矩阵通常叫做旋转变换矩阵.cossinsincosqqqq对应的变换称做旋转变换.其中的角q做旋转角.点O叫做旋转中心.旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状.图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.马上试试（P10）0360R①oR90②在直角坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋转角的旋转变换记为。试求出下列旋转变换的坐标变换公式以及对应的矩阵：a1001aR0110二、反射变换22(2)(2)2xyyxO(2,2)求圆C：在矩阵作用下变换所得的曲线.22(2)(2)2xy1001M反思：两个几何图形有何特点？22(2)(2)2xy(2,2)问题情境yxO),(yxPOyx),(yxPyyxx0110反射变换一般地，我们把平面上的任意一点P对应到它关于直线l的对称点P＇的线性变换叫做关于直线l的反射（变换）。求任意点P(x,y)对应到它关于x轴的对称点的坐标变换公式和与之对应的二阶矩阵。(,)Pxy反射变换),(yxPOyxy=x),(yxPxyyx),(yxP),(yxP关于x轴对称关于直线y=x的反射变换0110),(yxPOyx),(yxPyyxx),(yxP),(yxP关于x轴对称关于y轴的反射变换0110例2求出曲线2(0)yxx在矩阵1001M作用下变换所得的图形.1O1yx2(0)yxx2(0)yxx-1例3.求出曲线lg(0)yxx在矩阵0110M作用下变换得到的曲线.1Oyxlg(0)yxx110xy例1在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为，求点P(1，2)在该变换作用下的像P＇2112变式1在平面直角坐标系中，点P(1，0)在一线性变换作用下的像为P＇)23,21(一展身手（1）若该变换为旋转变换，求其所对应的二阶矩阵.（2）若该变换为反射变换，点Q在该变换下的像为，求Q点坐标..23,214,5P1322(1)31221322(2)312213(,)22Qa),(yxPOyx),(yxPl探究在直角坐标系xOy内，直线过原点，倾斜角为.你能求出关于直线的反射变换的坐标变换公式和对应的二阶矩阵吗？lalaaaa2cos2sin2sin2cos能力提高变式2能否构造一个线性变换，使得椭圆在该变换下变成？1422yx1422yxxyOxyO10202三、伸缩变换引例Oyxxysinxy2sin2xy2sin2xysinyyxx221伸缩变换21002想一想：在直角坐标系xOy内，将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍(k1，k2均为非零常数)的线性变换，其坐标变换公式为？对应的二阶矩阵为？ykyxkx2101k20k概念：伸缩变换：在直角坐标系xoy内，将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换1200kk对应的矩阵为12xkxyky坐标变换公式数学应用例1.在直角坐标系xoy内，将每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。（1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵；(2）求点A（1，-1）在该伸缩变换作用下的像A10(1)02(2)(1,2)A数学应用例2.验证圆C:在矩阵A=对应的伸压变换下变为一个椭圆,并求此椭圆的方程.221xy10022214yx再回首1、在平面直角坐标系中，平面内的点平面内的曲线有序实数对方程平面内的图形变换数形aaaacossinsincosyxyyxxaasincosaacossin2、两种特殊的线性变换：),(yxP),(yxPOyxa旋转变换aaaa2cos2sin2sin2cosyxyyxxaaaa2cos2sin2sin2cosa),(yxPOyx),(yxPl反射变换线性变换坐标变换公式二阶矩阵一一对应常见反射变换矩阵：把一个几何图形变换为与之关于x轴对称的图形；21001M(2)31001M把一个几何图形变换为与之关于原点对称的图形；(3)把一个几何图形变换为与之关于直线y=x对称的图形；40110M(4)(5)50110M把一个几何图形变换为与之关于直线y=-x对称的图形；110(1)01M把一个几何图形变换为与之关于y轴对称的图形；作业：2-3优化第一章测评