12_初等变换与初等矩阵

华南农业大学理学院应用数学系多媒体教学课件1.2初等变换与初等矩阵1.2.1初等变换1.2.2初等矩阵及其性质1.2.3初等变换与逆矩阵11112211211222221122........................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)m个方程，n个未知数对此线性方程组,可做如下三种同解变换:(1)互换两个方程的位置;(2)把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c;(3)将某一个方程加上另一个方程的k倍.这三种变换都称为初等变换.这三种变换都是可逆的1.2.1初等变换设方程组(1)经过某一初等变换后变为另一个方程组,则新方程组与原方程组同解.例解线性方程组2312312321022xxxxxxxx021111102112一一对应方程之间的变换一一对应矩阵的行之间的变换方程组的增广矩阵定义下面三种变换称为矩阵的行（列）初等变换:(1)交换矩阵的两行（列）;(2)以任意非零数λ乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素;(3)某一行（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行（列）的对应元素上去。矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换。定义若矩阵A经过有限次的初等变换后化为矩阵B，则称矩阵A与B等价（equation），记为AB行变换Row列变换Column交换i,j两行第i行乘数K第i行乘数K后加到第j行上去ijrrikr交换i,j两列第i列乘数K第i列乘数K后加到第j列上去ijccikcijkrrijkcc矩阵初等变换的符号表示第j行变第j列变第i行变第i、j行变第i列变第i、j列变例利用矩阵的行初等变换解方程组解将方程组的增广矩阵作行初等变换03320132续解得同解方程组原方程组的解为00731.2.2初等矩阵及其性质定义由单位阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种类型:(1)对调I中的第i,j行,得到的矩阵记为ijR对调I中的第i,j列,得到的矩阵记为ijC10111101ijRIijrrijccijC(2)用不为零的数λ乘以I中的第i行,得到的矩阵记为()iR用不为零的数λ乘以I中的第i列,得到的矩阵记为()iC11()11iRIiric()iC(3)以数λ乘以I中的第i行加到第j行去,得到的矩阵记为()ijR以数λ乘以I中的第j列加到第i列去,得到的矩阵记为()jiC11()11ijRIjirrijcc()jiC注意！结论：初等矩阵可逆,并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵1ijijRR11(())()iiRR1(())()ijijRR性质1.5用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该矩阵作相应的初等列变换.123135159A12301215921(1)rr例12100123(1)110135001159RA123012159定理1.2有限个初等矩阵的乘积必可逆.用初等矩阵左乘(右乘)一个矩阵,相当于对该矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一行(列)的初等变换,即（１）（２）,;ijijRAAijBCBij对换的第行和第行对换的第列和第列()(0),()(0);iiRkAAikkBCkBikk的第行乘的第列乘（３）(),.ijjiRkAAikjBCkBjki的第行乘加至第行的第列乘加至第列111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa例我们将第一行和第三行交换一下,可以用111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa001010100而得到.31a32a33a34a21a22a23a24a11a12a13a14a111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa例我们将第二列和第三列交换一下,可以用111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa得到.同学们可以验证一下.1000001001000001●小结矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如下式子成立：（1）（2）（3）Aijckc()ijRkAjirkr()jiAACk111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa证明12121222121nnnnnnbbbbbbbb1212222100nnnnnbbcccc121221010nnnnnbbddd121210100nnnnbbdd1212101001nnbbd121001001nndd……定理1.3可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵I，即可逆矩阵A与单位矩阵I等价.定理1.4Ａ为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵1212,,,,llPPPAPPP使证明：（必要性）因为Ａ为可逆方阵,故存在初等矩阵12,,,lQQQ使得12lQQQAI-11121lAQQQ故12lAPPP即现在给出求逆阵的另一种方法:111111llPPPIA11111llPPPAI因为原理:11121lQQQI1112112()llQQQQQQA由定理1.4得出求逆矩阵的另一种方法:111111llPPPIA11111llPPPAI1IA实际做法:1AIIA行原理:1.2.3初等变换与逆矩阵11111llPPPAI例求下列矩阵的逆221122443解344100221010122001AI13122001221010344100rr2131(2)(3)122001rrrr0230120221033212(1)1023012rrrr001111101011132313001111rrrr10010202032521()210010235010122001111r●课堂练习：123(1)221343A1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵2、利用初等变换求解线性方程组1231231232312252353xxxxxxxxx●答案11323/235/2111A1、（1）1231;0xxx2、同理可以用初等列变换求逆矩阵AI1IA注意：在这两种求逆矩阵的过程中，初等行变换和初等列变换不能混用。习题1P391.7(2)1.8(2）