12初等函数新

1上次课回顾基本概念：复数的模、辐角（主值）、复平面基本运算：复数的代数运算、将复数化为三角形式或指数形式iyxz.22yxrzxyoPiyxz).(πArg为任意整数kkz2ππargz)sin(cosirzirez0z则有设,irez.)θnsiniθn(cosrn于是有,,nznzzn记作次幂的的乘积称为个相同复数.个即nnzzzzθinnnerz,||||nnzznArgzArgzn复数的乘幂复数的乘幂与方根有时的模特别地，当,1rz.sincos)sin(cosninin——棣莫弗公式)11.1(,z对于已知复数zwn次方根，的为复数则称复数nzwnzw记作,w若存在复数复数的方根使满足方程.的表达式次方根的以下求nznz,,φiθieρwrez设中得，代入方程zwn,θiφinnreeρ从而得两个方程,rρn,2πkθφn解之得，取算术根)(nrρ.2nπkθφ因此，nzwnπkθiner2次方根为的nz.)1,,2,1,0(nk0,1,2,,k=22(cosisin)nkkrnn个，次方根共有的由此可知，非零复数nnz它们沿中心在原点，.布着原点，即它们是内接于圆心在的圆周均匀地分半径为nr1的半径为nr1.个顶点边形的圆周的正nn例1求41.i解:因为12cossin44ii所以2488442244122cossin44kikkiei42,ie2i22(cosisin)knnnnkkkwzrernnizre(cossin)ri0,1,2,,1kn8882cossin,(0,1,2,3)1616kkik71.2初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂ab与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数重点把握以下几点1、初等函数定义2、初等函数的性质3、与实变函数的区别8一、指数函数实变：xe1.指数函数的定义:.)(,)(0)1(xezfxzy时当=()exp(cossin)zxfzezeyiyiyxz.)(,)(0)2(iyezfiyzx时当yiyeiysincos欧拉公式)sin(cosyiyeeexiyxz(exponentialfunction)9iyxxeeyiyezf)sin(cos)()(,2Arg,||为任何整数其中kkyeeezxz注：0)1(ze1212z2e()eezzz加法定理成立：011(cos()sin())zzxxeeeyyiyye又2121zzzzeee1zzee3()exp,(cossin)zxezeyiy它的有的意.仅是代替的符号定义，没乘幂的义122()iiee未必成立,如1212()zzzzee1222=e01()(),,kiiek故所求的值有两个，即2,ie2.ie11,exp为周期函数指数函数z。周期是ik2.)2sin2(cos22zzikzikzekikeeee例1zieiyxz2)1(,求设解)sin(cosyiyeeexiyxz因为xzee所以其模zie2)(2iyxie,)21(2yixe;22xziee重要性质：12例2利用复数的指数表示计算解因为1311ii3412,iie412,iie3441212iiieie334444iiiieee3424iiieee1311ii132ie223kie2iknnnkwzrei,zre(0,1,2).k故所求的值有三个，即6,e56,ie32.ie(0,1,2,,1).kn13二、对数函数|;|lnlnzru1.定义zwzfwzzewLn,)()0(记为称为对数函数的函数满足方程令irezivuw,iuwrevivee)sin(cos即zizzwArglnLnkvreu2,所以Argzv对数函数是一个多值函数!14zizzwArglnLn)2arg(lnkzizikziz2arglnzizzarglnlnLn的主值z),,2,1(2lnLnkikzz15),,2,1(2lnLnkikzz.Ln,,的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的zk特殊地,.,lnlnLn,0是实变数对数函数的主值时当xzzxz),,2,1,0(2lnLnkxikxx此时16例３解.)1(Ln,2Ln以及与它们相应的主值求,22ln2Lnik因为ln2.Ln2的主值就是所以)1(Arg1ln)1(Lni因为)()12(为整数kik.1)Ln(i的主值就是所以注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.（1）（2）或者ii)1arg(1ln)1ln(17例４解.031iez解方程,31iez因为)31(Lniz所以kii2331lnki232ln),2,1,0(k182.对数函数的性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz,LnLnLn)2(2121zzzz（3）Lnz.n1zLn,nLnzLnznn其中，n为大于0的正整数LnzLnzzzLnLnz)(2Lnz22012Ln;Ln(,,,)zzezezkik的根方程zwnnkinkrzwnnπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nk,)sin(cos则为已知复数设irz19三、幂函数1.乘幂的定义,,,Lnabbeaba定义为乘幂复数为任意一个为不等于零的一个复数设.Lnabbea即abbealn（实数的幂）注意:)]2(arg[lnLn1)(kaiababbeea故ba一般是无穷多值的,)2(为整数时当bLnabbeaikbaiabe2)arg(ln,lnabe.具有单一的值ba203(,0),()qbpqpp当与为互质的整数时2ln(arg)qqaiakppelncos(arg2π)sin(arg2π)qapqqeakiakpp,bap具有个值0,1,2,,(1).kp即取时相应的值2[ln(arg)]qaiakbpae21;e,bLnzbzwza就得到一般的幂函数为一复变数如果2、幂函数定义两种特殊情况的讨论：,)()1时正整数当nbLnznnez.zzz,)()2时分数当pqbikzpppqeez2lnqqzneln单值函数bikzbikzbeee2ln]2[ln0,1,2,,(1).kplnlnlnzzzelnlnlnzzzeee22例521().ii求和1+的值解Ln1221e22ike)22sin()22cos(kik.,2,1,0k其中Ln(1+)(1)iiiie)]2(arg[lnLnkaiababbeea.,2,1,0k其中[[ln|1|(arg(1)2)]iiiikeln2(2)24ikeln2(2)24ike(2)4ln2ln2(cossin)22kei23四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义,sincosyiyeiy因为,sincosyiyeiy将两式相加与相减,得,2cosiyiyeey.2sinieeyiyiy,2cosizizeez.2sinieezizizzizeizsincos欧拉公式的推广.cos,sin是偶函数是奇函数zz(1)(2).2cos,sin为周期是以kzz(3)性质(4)sin,zzk仅在处为零cos.2zzk仅在处为零24.,sin)(可取任意复数不一定非负z26(5)不再成立。11|cos|,|sin|zzyyychyeeyi|||||cos|2|||2||sin|ishyieeyiyy.2sinieeziziz04)(sin212eei25，.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz(1)22sincos1zzsincos2zz实变量的三角函数间的一些公式对复变量的三角函数仍然有效．.1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz26.sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos(yixyixyixyixyixyix.cossin)sin(,sincos)cos(xshyixchyyixxshyixchyyix222sinsinshzxy222coscosshzxy.1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz122yshych22zzzzeeeeshzchz27例1计算cos(1i)的值解由定义得i(1i)i(1i)i1i+111eeeecos(1i)2211(ee)cos1i(ee)sin1.22.cossin)sin(,sincos)cos(xshyixchyyixxshyixchyyix或由28定义sintancoszzzcoscotsinzzz1seccoszz1cscsinzz，，，分别为正切、余切、正割与余割函数．292.双曲函数的定义,2zzeechz双曲余弦函数为,2shzzeez双曲正弦函数为.zzzzeeeethz双曲正切函数为(偶函数)(奇函数)(周期)i2(奇函数).czzzzeeeethz双曲余切函数为单值.cosArc,,coszwzwwz记作的反余弦函数为那么称设,2cosiwiweewz由,0122iwiwzee得,12zzeiw方程的根为两端取对数得).1Ln(cosArc2zziz五反三角函数与反双曲函数复变量的反三角函数与实分析的定义是类似的31五反三角函数与反双曲函数复变量的反三角函数与实分析的定义是类似的ArcsinwzArccoswzArctanwzArccotwz由反三角函数的定义易得2ArcsiniLni1zzz2ArccosiLn1zzz32iiArctanLn2izzz2iiArccotLnizzzArshzArchzArthzArcthz双曲函数的反函数分别记为：仿照反三角函数的推导方法可得：2ArshLn1zzz332ArchLn1zzz11ArthLn21zzz11ArcthLn21zzz34六、小结复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性)π2(i周期为2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与