12复合函数和反函数初等函数

2020/1/151第二节复合函数和反函数2020/1/152一、复合函数,uy设,12xu21xy定义1设函数)(ufy的定义域)f(D,而函数)(xu的值域为)(R,若)(R)f(D,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y2020/1/153注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)x2arcsin(y22.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成。,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv2020/1/154例8)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求设解1)(),(1)(,)]([)(xxxexfx,1)(10时当x,0x或,12)(xx;20x,0x或,11)(2xx;1x2x0e-1xee1x2x(x)2从外到里2020/1/155,1)(20时当x,0x或,12)(xx;2x,0x或,11)(2xx;01x有.2x,12x2x00x11x,12xe,2x,2xe,1)x(时结合2x0e-1xee1x2x(x)21)(),(1)(,)]([)(xxxexfx2020/1/156))x(g(f,e)x(g,1x11x01x1)x(f:x求又如)]x(g[f,0xx-0xx)x(f,0xx20xx2)x(g:2求设例从里到外例92020/1/1570x0y0x0yDxyW)(xfy函数oDxyW)(yx反函数o(一).反函数).x(fy),y(fx.y)f(Rx),x(fy)f(Dx),f(Ry),f(R),f(D),x(fy:8.111习惯地记成记的函数于上关是定义在则与之对应且满足有唯一确定的设定义2020/1/158)x(fy函数xyo),(abQ),(baP)x(fy1反函数)f(D)f(R),f(R)f(D11._______________)x(fy)x(fy.___________)y(fx)x(fy11在图形上与在图形上表示与y=x一个函数如果有反函数，它必定是一一对应关系。同一函数关于y=x对称2020/1/159例10求下列函数的反函数)ee(21y)1(xxRx,1xy)2(22x12)-(x-21x01x2y)3(22020/1/1510第三节基本初等函数2020/1/1511基本初等函数及其定义域与值域几个常见基本初等函数的定义域,值域及图形2.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy1.常数函数y=c,c为常数2020/1/15123.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey),0()f(R),,()f(D2020/1/15134.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(),()f(R),,0()f(D2020/1/15145.三角函数正弦函数xysinxysin22]1,1[)f(R),,()f(D2020/1/1515xycos余弦函数xycos2232]1,1[)f(R),,()f(D2020/1/1516正切函数xytanxytan222323),()f(R},Zn),1n2(2x|x{)f(D2020/1/1517xycot余切函数xycot22),()f(R},Zn,nx|x{)f(D2020/1/1518正割函数xysecxysec2020/1/1519xycsc余割函数xycsc2020/1/15206.反三角函数xyarcsin反正弦函数xyarcsin22]2,2[)f(R],1,1[)f(D2020/1/1521xyarccos反余弦函数xyarccos2],0[)f(R],1,1[)f(D2020/1/1522xyarctan反正切函数xyarctan22)2,2()f(R,R)f(D2020/1/1523常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。xycot反余切函数arcxycotarc),0()(,)(fRRfD2020/1/1524定义:由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。初等函数注:一般地分段函数不是初等函数,形式上分段但可化为一个解析表达式的函数可能是初等函数。0xx0xxxxy:2如2020/1/15252sinhxxeex双曲正弦xycoshxysinh),,(:D奇函数.2coshxxeex双曲余弦),,(:D偶函数.1.双曲函数xey21xey21双曲函数与反双曲函数2020/1/1526xxxxeeeexxxcoshsinhtanh双曲正切奇函数,),(:D有界函数,2020/1/1527双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx;1sinhcosh22xx;coshsinh22sinhxxx.sinhcosh2cosh22xxx2020/1/15282.反双曲函数奇函数,),(:D.),(内单调增加在;sinhxy反双曲正弦ar).1ln(sinh2xxxyarsinharxy2020/1/1529.),1[内单调增加在),1[:Dy反双曲余弦coshar).1ln(cosh2xxxyarxcosharxy2020/1/1530.11ln21xx)1,1(:D奇函数,.)1,1(内单调增加在y反双曲正切tanharxytanharxtanharxy2020/1/1531)Nn(xxx1y)5(xcos2y)4(0xx0x3xy)3(;xsin5)x32(y)2(;xsin1xsin1xy)1(.n22222数下列哪些函数是初等函例112020/1/1532解,01)(QxQxxD设.))(().21(),57(的性质并讨论求xDDDD,1)57(D,0)21(D,1))((xDDoxy1单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,例12：考察Dirichlet函数2020/1/1533解：设ux1则2111uuuf,112uu故)0(.11)(2xxxxf设0x，函数值21)1(xxxf，求函数)0()(xxfy的解析表达式.例132020/1/1534八、小结基本概念：集合，区间，邻域,自变量与因变量，函数与映射基本初等函数与初等函数函数的特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性。反函数与复合函数