12振动-中国农业大学大学物理

大学物理B力学第九章振动第九章振动振动和波是自然界中很常见的运动形式。力学中所研究的是机械振动和机械波，但由此得到的振动和波的运动规律和数学描述具有普遍性，可直接用于量子力学、电磁学和光学等领域。大学物理B力学第九章振动§9.1简谐振动质点在一定位置附近作来回往复的运动称为机械振动。机械振动有各种复杂的形式，其中最基本和最重要的是简谐振动，它是研究复杂振动的基础，是最简单的振动形式。大学物理B力学第九章振动•简谐振动方程如图所示为一弹簧振子，一质点在弹性力的作用下沿x轴运动。取弹簧自然长度处为坐标原点，则x为质点相对于平衡位置的位移。质点所受力为kxF大学物理B力学第九章振动根据牛顿第二定律，22ddtxmF质点的动力学方程为kxtxm22dd或0dd22xmktx大学物理B力学第九章振动令mk20则0dd2022xtx上式称为简谐振动的动力学方程。容易验证其通解为)cos(00tAx大学物理B力学第九章振动称为简谐振动的运动学方程，凡按此规律的运动都可称之为简谐振动。其中由系统的动力学性质确定，A和为由初条件决定的两个待定参数。00)cos(00tAx大学物理B力学第九章振动例9.1如图所示，质量为m的质点竖直悬挂在弹性系数为k的弹簧上，x轴的坐标原点为弹簧自然长度处，求质点的运动。解：质点受力为)()(0xxkkmgxkmgkxF其中为质点受力的平衡位置。kmgx/0大学物理B力学第九章振动若取一新坐标系s，取x0处为其坐标原点，即则在新坐标下，质点受力为ksF0xxs动力学方程为运动学方程为mktAs000)cos(，kstsm22dd大学物理B力学第九章振动讨论：直接取平衡位置为坐标原点可简化求解过程和结果。大学物理B力学第九章振动•简谐振动的性质①简谐振动参数运动学方程)cos(0tAx)0(A振幅相位0)(tt0)0(初相位圆频率频率2T周期振幅、周期、相位称为振动三要素21T大学物理B力学第九章振动例9.2若不计阻力，证明如图所示水面上浮沉的木块在作简谐振动，并求周期。大学物理B力学第九章振动解：取平衡位置为坐标点，则当木块上下偏离平衡位置x时，其所受的浮力与重力之差为xkSgxF水为准弹性力则SgmmkT水＝＝2220mk＝0大学物理B力学第九章振动例9.3求如图所示单摆的周期。解：取o点为固定点，取垂直纸面向外为力矩和角动量的正方向，则质点所受力矩为：角动量为：根据角动量定理：得：sinmglMtmltllmlmvLddd)d(2tLMdd222ddsintmlmgl大学物理B力学第九章振动小角度时，动力学方程为：运动学方程为：得：sin)cos(00tAlg0glT2200dd22lgt大学物理B力学第九章振动②简谐振动的速度和加速度根据简谐振动的运动学方程)cos(0tAx可求得简谐振动的速度为)2cos()sin(dd00tvtAtxvM加速度为)cos()cos(dd0020tatAtvaM速度振幅加速度振幅，AvM2AaM大学物理B力学第九章振动例9.4一质点作简谐振动，圆频率为00t时，，0xx，0vv求简谐振动的振幅和初相位。大学物理B力学第九章振动t=0时，，00cosAx000sinAv得20020)(vxA)arctan(0000xv解：简谐振动运动学方程为)cos(00tAx速度为)sin(dd000tAtxv大学物理B力学第九章振动③简谐振动的机械能质点作简谐振动时，其动能为)(sin21)(sin212102202222tkAtmAmvEk势能为)(cos21210222tkAkxEp机械能为221kAEEEpk大学物理B力学第九章振动动能和势能都随时间变化，但在任意时刻，其和为常量，机械能守恒。位移最大时，势能达最大值，而动能为零。平衡位置处，势能为零，而动能达最大值。大学物理B力学第九章振动④简谐振动的表示法根据三角函数与复指数函数的关系sinicosei可将简谐振动的运动学方程用复指数函数表示为)sin(i)cos(e~00)(i0tAtAAxt取其实部)cos(0tAx即为简谐振动运动学方程。大学物理B力学第九章振动简谐振动的复数表示法在振动和波的计算中非常有用，其物理意义可用下列旋转矢量图来理解)(i0e~tAx0)(tt)cos(0tAx大学物理B力学第九章振动例9.5一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在处，向轴负方向运动（如图）。试求kg01.0m08.0s4m04.0ox（1）时，物体所处的位置和所受的力；s0.1to08.004.004.008.0m/xv大学物理B力学第九章振动m04.0,0xt代入)cos(tAx2/1cos3/o08.004.004.008.0m/x3/000vA3π0)3π2πcos(08.0tx,m08.0A,s2ππ21T解：得：大学物理B力学第九章振动)3π2πcos(08.0txs)(0.1t代入上式得m)(069.0xxmkxF2)069.0()2π(01.02(N)1070.13kg01.0m大学物理B力学第九章振动（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.m04.0xo08.004.004.008.0m/x3π3π0时刻时刻t3/ts)(667.0322/3/t大学物理B力学第九章振动•阻尼振动我们前面研究的简谐振动是一种理想情形，实际上阻力的作用是不可避免的，振动系统在振动的过程中总会因克服阻力作功而损失能量，若无外界补充其能量，振动最终会停止,这样的振动称之为阻尼振动。§9.2阻尼振动、受迫振动与共振大学物理B力学第九章振动阻力的方向总是与速度方向相反，在一定条件下，阻力与速度成近似的线性关系，即txvFrdd其中γ称为阻力系数。加入阻力后，质点受合力为txkxFdd大学物理B力学第九章振动质点的动力学方程为0dddd22xmktxmtx令mk20m2其中为振动系统的固有频率，0β称为振动系统的阻尼常量0dd2dd2022xtxtx得阻尼系数（无量纲）0/Λ大学物理B力学第九章振动①欠阻尼状态：当时，Λ1，其运动学方程为：其中：0)cos(e0taxt220txotae大学物理B力学第九章振动这是一个振幅taAe以指数形式衰减的准周期振动则阻尼常量越小，则衰减越慢。当阻尼很小时，0，0短时间内可将其看成是简谐振动。大学物理B力学第九章振动当时，Λ＝1，其运动学方程为：②临界阻尼状态：0tbtaxe)(系统根本不振动，而是很快地回到平衡位置。otx大学物理B力学第九章振动③过阻尼状态：当时，Λ＞1，其运动学方程为：0tttbaxe)ee(202202系统根本不振动，而是缓慢地回到平衡位置。otx大学物理B力学第九章振动工作中我们可根据实际需要,通过调整阻尼常量的大小,使振动系统工作在不同的阻尼状态为了获得近似的简谐振动，我们可通过减小阻力系数γ，或增加振子的质量m使阻尼常量β减小。otx过阻尼临界阻尼三种阻尼振动比较欠阻尼大学物理B力学第九章振动•受迫振动与共振：振动系统除受弹性力和阻力外，还受外力的作用时，其动力学方程为：)(tFtmtFxtxtxt)(dd2dd2022其运动学方程为：其中为阻尼振动，为受迫振动。21xxx01x2x大学物理B力学第九章振动大学物理B力学第九章振动①受迫振动：策动力策动幅度策动圆频率受迫振动的稳定解为：其中：tFtFtcos)(0mFf/0)cos(tAx2222204)(fA2202tan大学物理B力学第九章振动验证tfmtFxtxtxtcos)(dd2dd2022)cos(tAxf20A2AA2)(220Ao大学物理B力学第九章振动②共振：幅频响应曲线→位移共振：共振振幅：2202r2202fAr0r速度响应曲线→2222204)(fAAvm速度共振：共振速度：2/fvr大学物理B力学第九章振动在其它条件不变的情况下，改变策动圆频率可得到A的极大值，此时振动系统的状态称为共振。共振时的策动频率称为共振频率。实际应用中共振圆频率一般可近似为。当阻尼很小时，在共振状态下，即使是很小的策动幅度也能产生很大的振幅，因而使振动系统遭到破坏。0大学物理B力学第九章振动共振现象的危害1940年7月1日美国Tocama悬索桥因共振而坍塌大学物理B力学第九章振动共振吸收：当时，不但振动系统的振幅近似为最大值，而且策动力对系统的作功功率最大。或者说振动系统对策动系统有最大的吸收功率，称之为共振吸收。0大学物理B力学第九章振动共振及共振吸收的概念广泛地应用于许多领域，可以解释许多物理现象，并且在现代科学技术中得到广泛应用。例如无线电技术、磁共振技术和光谱技术等。共振演示实验→236145大学物理B力学第九章振动③自激：自然界和许多应用技术中常有一种频率为系统的固有频率的等幅周期振动。为了补充系统在振动过程中因克服阻力作功而不断消耗的能量，必须有外力不断对系统作功而又不干扰系统的周期性振动。这种能够不断地从外界自动补充能量、依系统的固有频率作等幅周期振动的系统称为自激系统。大学物理B力学第九章振动自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统,在运动过程中伴随有能量损耗,但系统存在一种机制,使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈调节,及时适量地得到补充,从而产生一个稳定的不衰减的周期运动.这样的振动称为自激振动.钟表的振动、电路中振荡器的振荡、生物的呼吸和心跳等都是典型的自激振动现象。大学物理B力学第九章振动•振动的叠加原理：线性系统的性质①叠加原理：21xxx)()()(21tFtFtFt策动下的解是)()(dd2dd1111201212tFxmtFxtxtx策动下的解是)()(dd2dd2222202222tFxmtFxtxtx则大学物理B力学第九章振动②解的稳定性：解对初值不敏感。mtFmtFmtFxtxtxxtxtxxxtxxtxxxtxtxt)()()(dd2dddd2dd)(d)d(2d)(ddd2dd212202222120121221202122122022非线性系统---“混沌”大学物理B力学第九章振动•同频率、同方向简谐振动的合成设质点同时参与两个沿x方向的同频率简谐振动)cos(111tAx)cos(222tAx§9.3简谐振动的合成与分解质点的合振动为)cos()cos(221121tAtAxxx大学物理B力学第九章振动合振动仍为同频率的简谐振动其中A和的值分别为)cos(212212221AAAAA221122110coscossinsintanAAAA利用三角函数的变换关系，可将上式化为)cos(0tAx0大学物理B力学第九章振动采用复数表示法或旋转矢量法来计算同方向、同频率简谐振动的合成尤为方便。大学物理B力学第九章振动对一定的1A和2A，合振幅由)(12决定，称之为相位差