12独立性检验的基本思想及其初步应用.

1．上节学习了回归分析的基本方法．线性回归模型y＝bx＋a＋e不同于一次函数y＝bx＋a，含有__________，其中x为_________，y为__________.温故夯基随机误差e解释变量预报变量2．回归直线一定过点(x，y)，此为______________.3．R2表达式中的i＝1n(yi－y)2为确定的数，i＝1n(yi－y^i)2称为____________.样本点的中心残差平方和222121ˆ,:1.niiiniiyyRRyy相关指数来刻画回归的效果公式是地调学校数学教研组1、两个相关的概念对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量，也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别。（1）分类变量：定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。（2）定量变量：例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180cm，李立的身高是175cm，说明张明比李立高180-175=5（cm）。研究两个变量的相关关系：定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、宗教信仰、国籍等等。两种变量：独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量的之间是否有关系2定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、变量相关指数R、残差分析）分类变量——独立性检验2定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、变量相关指数R、残差分析）分类变量——独立性检验吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大0.54%2.28%与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况。1)通过图形直观判断两个分类变量是否相关：不患肺癌患肺癌不吸烟吸烟010002000300040005000600070008000不吸烟吸烟三维柱状图2)通过图形直观判断两个分类变量是否相关：0100020003000400050006000700080009000不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌二维条形图0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌3)通过图形直观判断两个分类变量是否相关：患肺癌比例不患肺癌比例等高条形图独立性检验H0：吸烟和患肺癌之间没有关系←→H1：吸烟和患肺癌之间有关系通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关结论的可靠程度如何？吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d0,,,.ABHPABPAPB用表示不吸烟表示不患肺癌则吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌独立即等价于ac≈,a+bc+dac+d≈ca+b,adbc吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d:例吸烟者中不患肺癌的比:比例不吸烟者中不患肺癌的dccbaa0,.,aABabacABH在上表中恰好为事件发生的频数；和恰恰好分别为事件和发生的频数由于频率近似于概率所以在成立的条件下应有不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d吸烟与患肺癌的列联表：如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与6中相应的比例应差不多，即|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.22n（ad-bc）K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)引入一个随机变量作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准。0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.706)(02kKP0k)(02kKP0k)(02kKP0k0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828)(02kKP0k0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828)(02kKP)(02kKP0k)(02kKP0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060k)(02kKP独立性检验吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965通过公式计算2242209956.63278172148987491K9965(777549）在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：2(6.635)0.01PK也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01，是一个小概率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”56.632k但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.独立性检验：如果，就判断H0不成立；否则,就判断H0成立.6.635k(6.635)0.01Pk即在成立的情况下，K2大于6.635概率非常小，近似为0.010H独立性检验的基本思想：(类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系”这一结论成立可信程度的判断)：（1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.（2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理.（3）根据随机变量K2的含义，可以通过（2）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的k6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体作法是：（1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；（2）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k；（3）如果k6.635，就以1-P(K2≥6.635)×100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据.设要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”1、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系。（1）在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大。（2）在二维条形图中，(x1,y1)个体所占的比例与(x2,y1)个体所占的比例,两个比例相差越大，H1成立的可能性就越大。aabccd2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。独立性检验的一般步骤：2x2列联表y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.502()PKk（1）如果k10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；（2）如果k7.879，就有99.5%的把握认为“X与Y有关系”；（3）如果k6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；（4）如果k5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系”；（5）如果k3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”；（6）如果k2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；（7）如果k=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”.临界值分类变量之间关系条形图柱形图列联表独立性检验背景分析例1.秃头与患心脏病在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：患心脏病不患心脏病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437根据联表1-13中的数据，得到221437(214597175451)16.3736.635.3891048665772K所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下K2应该很小，并且例2.性别与喜欢数学课由表中数据计算K2的观测值k4.513。在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？2(3.841)0.05,PK而我们所得到的K2的观测值k4.513超过3.841，这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”。思考：例1、2的结论是否适用于普通的对象？在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题，而没有必要画相应的图形。图形可帮助向非专业人士解释所得结果；也可以帮助我们判断所得结果是否合理例1这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体．例2的结论只适合被调查的学校。大家要注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）独立性检验基本的思想类似反证法(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下随机变量K2应该很能小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.知新益能1．2×2列联表与等高条形图(1)分类变量的定义变量的不同“值”表示个体所属的_________，像这样的变量称为分类变量．(2)2×2列联表的定义一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为________和_________，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：不同类别{x1，x2}{y1，y2}y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d（3）与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用____________展示列联表数据的频率特征.等高条形图2．独立性检验为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝______________为样本容量．先假设两个分类变量X与Y无关系，利用上述公式根据观测数据求出K2的观测值k，再得出X与Y有关系的程度．a＋b＋c＋d打鼾不仅影响别人休息,而且还可能与患某种疾病有关,在某一次调查中,其中每一晚都打鼾的254人中,患心脏病的有30人,未患心脏病的有224人；在不打鼾的1379人中,患心脏病的有24人,未患心脏病的有1355人,利用图形判断打鼾与患心脏病有关吗?例1【解】根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：患心脏病未患心脏病