13-1拉普拉斯变换

1第十三章拉普拉斯变换经典法．．．——根据电路列出微分方程然后进行求解来求解动态电路响应的方法。也叫时域解法．．．．（求解时间函数方程）。优点：物理概念清楚，便于理解。但是这种方法对于求解二阶以上的复杂电路，很困难。即使是一阶电路，当激励为常数、正弦函数与冲击函数时，应用三要素法进行时域分析是方便的，但当激励为指数函数、斜坡函数、特别是任意函数式，时域分析也是很麻烦的。在正弦稳态分析中，采用向量法后，将时域中的微积分运算转化成了频域中的代数运算，使运算十分简单。向量分析是一种变换。在暂态分析中，能否也建立这种类似的变换?拉普拉斯变换（简称拉氏变换）线性定常电路的拉氏变换分析与向量分析十分相似，用拉氏变换求解动态电路，先将时域函数通过拉氏变换变成复频域（S域）函数，并画出S域电路，在S域电路中确定响应后，经过拉氏反变换得到时域响应。这种分析法不用求特解、通解、及确定积分常数，所得结果就是全响应。拉氏变换将时域中的微积分方程变成S域中的代数方程。因为拉氏变换分析要经过求拉氏变换和反变换两次运2算（变换），所以也称为运算法．．．。运算法是一种通过数学变换间接求解动态电路的简捷方法。应当指出，拉氏变换求解动态电路，只适用于线性，非时变的电路，不适用于时变及非线性电路。§15-1拉普拉斯变换的定义一、拉氏变换的定义先定义一个复数js其中是使函数)(tf在区间（0－，∞）内积分收敛而选定的一个常数；是角频率，是变量；s是复变量。、、s的单位都是1/秒。复变量s也称为广义频率，或复频率。1、拉氏正变换的定义定义在（0－，∞）内的时间函数)(tf（)(tf代表电路中的激励，或响应），与因子ste相乘，构成一个新的函数stetf)(，再在（0－，∞）内对t积分，该积分称为单边拉普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。0)()()]([dtetfsFtfLst式中js为复数（复频率变量）上式对t求定积分后，变成了复变量s的函数，所以记作)(sF。)(sF称为)(tf对应的象函数，)(tf称为)(sF的原函数。L──拉氏变换符号（算子）3)]([)(tfLsF，所以)(sF又称为)(tf的拉氏变换式。由于s被称为复频率，所以S域又叫做复频域。积分式中下限取到0t，是为了当)(tf在0t处含有冲激函数时不会被忽略。而对一般情况，下限取0t，0,0都无所谓。2、拉氏反变换的定义s域中的象函数)(sF，与因子ste相乘，构成一个s的新函数stesF)(，再从))(jj＋到（对s求定积分，将积分值除以j2，即得到原函数)(tf。这个定积分称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。即jjstdseSFjtfsFL1)(21)()]([L与1L是一对反变换。)()(sFtf称为一个拉氏变换对，)(tf与)(sF是一一对应的。习惯上，时域的原函数用小写字母表示，如i(t),u(t)，象函数用大写字母表示，如I(s),U(s)等。二、拉氏变换存在的条件并非任意)(tf都能进行拉氏变换。定义在),0(区域内的函数)(tf，如果满足下列两个条件：（1）0t的任一有限区间内，)(tf分段连续；（2）在t充分大时，)(tf满足不等式4ctMetf|)(|其中M、C为实常数（即)(tf为一指数函数），则)(tf的拉氏变换0)()(dtetfsFst，在复平面上Cs)Re(（即C）的半平面上一定收敛，即在Cs)Re(的半平面内其拉氏变换存在。所以拉氏变换存在的基本要求是0)(dtetfst为有限值（收敛），对应复平面中使积分收敛的区域称为收敛域．．．。证明：∵1|sincos|||tjtetj∴00|)(||)(|dtetfdtetftstdteMtc0)(当0c，即c，即cs)Re(时，dteMtc0)(是收敛的（有限的），)(tf的拉氏变换才是存在的。满足ctMetf|)(|的函数)(tf称为指数级函数。在电路分析中所遇到的大多为指数级函数，因而，其拉氏变换大多是存在的。0Cj5§15-2一些常用函数的拉普拉斯变换几个基本函数的拉氏变换：1.单位阶跃函数)(t00)()]([dtedtettLststsesst110即st1)(为一拉氏变换对收敛域为)0(0)Re(s若)()(0tttf000)()]([dtettttLst00011sttsttstesesdte∴)(0tt)0(100tesst若ktf)(（常数）根据拉氏变换的定义，对0t时的函数值不予考虑，所求和拉氏变换时，k可视为)(tk0)()]([][dtetktkLkLstsksk10j6∴skk2.单位冲激函数)(t0001)()()]([dttdtettLst∴1)(tdtettdtettttLstttst0000000)()()]([00000)(stttstedttte∴0)(0stett3.指数函数te（为任一实数或复数）dtedteeeLtssttt0)(0][sests1)(10)(必须满足0)Re(as，即asRe)Re(（收敛域）。∴set1若a为一负实数时，aseLat1][∴)0(1aset收敛域为a0jC7当a为正实数，aseLat1][收敛域aset1当j纯虚数时jseLj1][收敛域ajsej14.正弦函数tsin由欧拉公式：sincos,sincosjejejj∴)(21sintjtjeejt∴dteeejtLsttjtj][21][sin022]11[21sjsjsj∴22sinst同理，余弦函数)(21costjtjeet0Cj0j8∴][21][costjtjeeLtL22]11[21ssjsjs∴22cossst5.幂函数nt（n为正整数）当1nttf)(斜坡函数00]11[][dtestesdttetLststst2021]11[sestesstst2)(ttf002022)1(2)1(][dtestestdtettLststst00)1)(1(2)(20ststesssests32snttf)(0][dtettLstnn令ntu，dtedVst则1/nntdtduststesdteV1900])1([][stnstnnestdtettLdtesntstn)1(01dtetsnstn010][1ntLsn即][][1nntLsntL递推][1221][0tLsssnsnsntLn1!1!nnsnssn∴1!][nnsntL1!nnsnt从以上变换中可见，时域中难以处理的函数、三角函数、指数函数等，通过拉氏变换都成了频域中比较容易运算的函数。其它常用函数的拉氏变换对见书P329表13-1。§13-3拉普拉斯变换的基本性质拉氏变换有好几条基本性质，掌握这些性质将有助于拉氏正、反变换。一、线性定理设)(1tf、)(2tf为两个定义在),0(区域内的任意函数，10在其定义域内，都可以进行拉氏变换，且)()]([11sFtfL，)()]([22sFtfL，设C1、C2为两个任意常数，则有)()()]()([22112211sFCsFCtfCtfCL证明：dtetfCtfCtfCtfCLst022112211)]()([)]()([022011)()(dtetfCdtetfCstst)()(2211sFCsFC)()(2211tfCtfC)()(2211sFCsFC即：时间函数的线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。例求tCh的拉氏变换（双曲余弦）解)(21tteetCh][21][21][tteLeLtChL22]11[21ssss例求231)(2sssF的拉氏反变换。解：2111)2)(1(1231)(2sssssssF]21[]11[]2111[)]([1111sLsLssLsFL)()(2teett11二、微分定理设)()]([sFtfL，则)0()(])([fsSFdttdfL证明：dtedttdfdttdfLst0)(])([00)()()(dtsetfetfstst0)()0(dtetfsfst)0()(fsSFdttdf)()0()(fsSF二阶导数的拉氏变换：)0()]([])([22ftfSLdttfdL)0()]0()([ffsSFS)0()0()(2fSfsFS时域函数的一阶导数的拉氏变换，相当于在复频域中对原函数的象函数乘以S，再减去原函数0t时的值。若0)0(f，则在时域中求导的拉氏变换相当于在频域中乘以s，时域的微分转化成了复频域中的乘法，从而将)(tf的微分方程转化为的)(sF代数方程。例ttf01cos)()(cos)(02tttf求：)]([1tfL和)]([22tfL12解：ttf01cos)(，在0t处连续，1)0()0(1ff2022020211)]([SSSStfLtttf02cos)()(，在0t处不连续，0)0(2f20222022)]([SSSSStfL注意)(tf在0t处的连续问题：若连续)0()0(ff。但若不连续)0()0(ff，dttdf)(在0t处有一冲激作用，若误取)0(f值，就忽略了该冲激作用而出错。])(cos[)]([02ttdtdLtfL)](sin)([cos000ttdttdtL)](sin)([00tttL20222022001SSS三、积分定理设)()]([sFtfL则)(1])([0sFSdfLt证：dtedfdfLsttt000])([])([令tdfu0)(，dtedVst13则dttfdu)(steSV1原式000)(1)(1dtetfSdfeSsttst)(tf为有限函数（有界函数），即为指数级函数。tcstttstteCMSedfSe00lim)(lim0（只要)Re(s足够大）而ttdf000)(lim∴SsFdfLt)(])([0tdf0)(SsF)(时间函数的积分的拉氏变换等于该函数的拉氏变换除以S。当积分区间为t~时，可分段表示ttdfdfdf00)()()(0)(df为一个常数，后一项才是一个函数。)(1])([1])([0sFSdfSdfLt当f(t)为电流时，0)(df为电荷)0(q；当f(t)为电压时，0)(df为磁链)0(。14四