13级线性代数期末统考的通知

1华南理工大学广州学院基础部关于2014年《线性代数》期末统考的通知通知要点一、考试时间、重点内容与要求二、考试的形式与试卷结构三、题型示例与答案一、考试时间、考试的重点内容与要求考试时间：2014年1月15日（第20周周三上午9:00—11:00）考试的范围是《线性代数》（同济大学·第五版）第一、二、三、四、五章。以下按章次明确考试的重点与要求：第一章行列式1.理解行列式的定义，会用对角线法则计算二三阶行列式；2.掌握余子式，代数余子式的概念，会求行列式的余子式和代数余子；3.理解行列式的性质和行列式按行按列的展开式，会利用行列式的性质及按行（列）展开式计算高阶行列式；3.会求低阶的范德蒙行列式；4.掌握克拉默法则，会应用克拉默法则讨论方程组解的情况及求解方程组。第二章矩阵及其运算1.理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等特殊的矩阵；2.掌握矩阵的加减法及数乘、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算性质；3.理解伴随矩阵、可逆矩阵的概念及性质，以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵法求矩阵的逆阵，会用逆矩阵求解矩阵方程；4.了解分块矩阵的概念和运算。第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.掌握用初等行变换法把矩阵化成阶梯形矩阵和行最简形矩阵；2.知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。3.理解矩阵的秩的概念，掌握求矩阵的秩的方法，会求矩阵的最高阶非零子式。4.掌握非齐次线性方程组无解、有唯一解或有无穷多个解的充要条件，齐次方程组有唯一零解、非零解的充要条件，会判断两类线性方程组解的情况。5.掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法（包括求非齐次线性方程组及齐次线性方程组的通解）。2第四章向量组的线性相关性1.理解n维向量的概念，了解向量组的概念及向量组与矩阵的对应。2.了解向量组的线性组合的概念，知道向量组线性相关、线性无关的概念，掌握判断向量组线性相关和线性无关的方法。3.知道向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，知道向量组的秩和矩阵秩的关系，会求向量组的秩和最大无关组，以及用最大无关组来表示向量组的其余向量。4.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并熟悉基础解系的求法。理解非齐次线性方程组通解的结构。第五章相似矩阵及二次型1.了解向量的内积、长度及正交性。2.理解矩阵特征值、特征向量的概念及性质。会求矩阵的特征值和特征向量。最后我们指出，上述列出的各章内容与要求是本次统考的基本内容，考生应结合课本的例题与教师布置的习题抓好落实，既要弄清概念、又要掌握运算规则、总结解题方法；同时还要注意行列式、矩阵、矩阵的初等变换等知识的区别与联系，通过做题熟练掌握内容，加深理解。二、考试的形式、试卷结构1.考试形式为闭卷、笔试。满分100分，考试时间为120分钟。2.试卷内容比例：行列式约占20%，矩阵及其运算约占20%，矩阵的初等变换与线性方程组约占30%，向量组的线性相关性约占20%，相似矩阵及二次型10%。3.试卷题型比例：选择题占15%，填空题占25%，计算题占30%，证明题占14%，解答题占16%.三、题型示例与答案一．选择题（在每小题的四个选项中，选出正确答案，并将正确答案填写在题干后的括号内。本题共5小题，每小题3分，共15分）1.设A、B是方阵，则下列命题中正确的是（）A.若A与B可交换，则222(A+B)2AABBB.若k为常数，ABkkkABC.若2AE,则AE或AED若矩阵C0,AC=BC,且则A=B2.设A、B均为n阶方阵，2,3AB,*A是A的伴随矩阵，则*13AB()3A.3nB.6nC.16nD.16n3.已知n阶矩阵A，B和C都是可逆矩阵，且ABCE，则下列结论必成立的是()。A.ACBEB.CBAEC.BACED.BCAE4.设n维向量组s，，，21（3sn），则下述结论正确的是（）。A.若11220ss，则向量组s，，，21线性相关。B.若向量组s，，，21线性相关，则任何一个向量都可由其余向量线性表示。C．若存在一组不全为0的数12s，，，，有11220ss则向量组s，，，21线性相关。D.若向量组中任意两个向量线性无关，则向量组s，，，21线性无关5.设A,B都是对称矩阵，则下述论述中不正确的是（）A.A+B也是对称矩阵B.对于n阶可逆矩阵P，1BPP为对称矩阵C.对任意的n阶矩阵Q，TQAQ为对称矩阵D.若A，B可交换，则AB为对称矩阵二、填空题.（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。１.计算行列式222111abcabc__________。２.齐次线性方程组12124020xxxx有非零解的充要条件是______________________３.设4阶行列式4abcdbacdDcdcaadcb，则11213141AAAA___________________４.设n阶矩阵A可逆，则A的秩R（A）=_______________．５．已知向量组123,,１００１３０，２０５则向量组123,,线性______________.4三、计算题（本大题共5小题，每小题６分，共30分）1．已知矩阵121210110A，010210021B，求TAB.２.计算行列式（任选一道）D1=311251342011153331302D23-42972220331111311311311113D3．解矩阵方程012111140121010X4．求矩阵A=11123213883219501234的列向量组的秩R(A)，并求向量组的一个最大无关组，将其余向量由这组最大无关组线性表示。5．解齐次线性方程组12341234123420363051050xxxxxxxxxxxx，用基础解系表示其通解。四．证明题（本大题共２小题，每小题7分，共14分）1.如果向量组设向量123,,线性无关，112223331,,。证明：向量组123,,线性无关。2.若A为n阶可逆矩阵，证明：（1）111()kAkA；（2）11(A)()kkA。五．解答题（本大题共２小题，每小题8分，共16分）1．k取何值时，非齐次线性方程组123123123322kxxxkxkxxxxkx（1）有唯一解；（2）无解；（3）无穷多个解？并用向量形式表示其通解。5２．已知矩阵400532202A，（1）求A的特征值和特征向量。（2）求*A与1A的特征值，参考答案（以下答案仅作为参考，并非详细答案，做题时须注意解题步骤）一．选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）ACDCB二.填空题。（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。1.()()()bacacb2.=83.04.R()An5.线性无关三.计算题（本大题共5小题，每小题６分，共30分）1.4225121002.D1=311251342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.3130231300+231300312D23429734300-33430034352220322200+322200223D3=483.-1012111111401=3221010112X（或用初等行变换法）4.1112321388321950123410021010100011200000r，R(A)=3，123,,是最大无关组。64123=2,513=2,5.12123421100001xxccxx，方程组的基础解系为122110,0001四、证明题（本大题共２小题，每小题7分，共14分）1.证明：设存在123λ,λ,λR，使得1122r3++=0化简得131122233()()+0aaa又因为12,,,raaa线性无关，则13122300=0解得1230所以，123,,线性无关.2.证明：（1）111111111()()kAAkAAEkAAkAkkk，；（2）111111(A)()()kkkkAAAAAAA五、解答题（本大题共２小题，每小题9分，共１8分）1.（1）当方程组的系数行列式0)2()1(111111A2kkkkk时方程组有唯一解，即1k或2k（2）当1k时，()()13RARB，方程组有无穷多解。通解为12123-1-1-210+0010xxccx（3）当2k时，()()RARB，方程组无解。2.（1）A的特征多项式为400532)(3)(2)0202AE（4-所以A的特征值为1234,3,27当14时，解方程组(4)0AEx得基础解系113,1，所以1k是对应于14的全部特征向量。当3时，解方程组(3)0AEx得基础解系200,1所以2k是对应于23的全部特征向量。当2时，解方程组(2)0AEx得基础解系302,1所以3k是对应于32的全部特征向量。（2）*A的特征值****123=6,=8,=12A分别为1A的特征值1231111=,=,=432分别为