曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

1/13第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1)利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2)直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分(3)利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.(4)利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.(5)利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分.(6)利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.2.在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L关于y轴对称，则10(,)2(,)LLfxfxydsfxydsfx对为奇函数对为偶函数10(,)2(,)LLPxPxydxPxydyPx对为奇函数对为偶函数10(,)2(,)LLQxQxydyQxydyQx对为偶函数对为奇函数其中1L是L在右半平面部分.若积分曲线L关于x轴对称，则10(,)2(,)LLfyfxydsfxydsfy对为奇函数对为偶函数10(,)2(,)LLPyPxydxPxydyPy对为偶函数对为奇函数10(,)2(,)LLQyQxydyQxydyQy对为奇函数对为偶函数其中1L是L在上半平面部分.（2）若空间积分曲线L关于平面yx对称，则()()LLfxdsfyds.2/13（3）若积分曲面关于xOy面对称，则10(,,)2(,,)fzfxyzdSRxyzdSfz对为奇函数对为偶函数10(,,)2(,,)RzRxyzdxdyRxyzdxdyRz对为偶函数对为奇函数其中1是在xOy面上方部分.若积分曲面关于yOz面对称，则10(,,)2(,,)fxfxyzdSRxyzdSfx对为奇函数对为偶函数10(,,)2(,,)PxPxyzdydzPxyzdydzPx对为偶函数对为奇函数其中1是在yOz面前方部分.若积分曲面关于zOx面对称，则10(,,)2(,,)fyfxyzdSRxyzdSfy对为奇函数对为偶函数10(,,)2(,,)QyQxyzdzdxQxyzdzdxQy对为偶函数对为奇函数其中1是在zOx面右方部分.（4）若曲线弧():()()xxtLtyyt，则22(,)(),()()()()Lfxydsfxtytxtytdt若曲线弧:()()Lrr（极坐标），则22(,)()cos,()sin()()Lfxydsfrrrrd若空间曲线弧():()()()xxtyyttzzt，则3/13222(,,)(),(),()()()()()fxyzdsfxtytztxtytztdt（5）若有向曲线弧():(:)()xxtLtyyt，则(,)(,)(),()()(),()()LPxydxQxydyPxtytxtQxtytytdt若空间有向曲线弧():()(:)()xxtyyttzzt，则(,,)(,,)(,,)PxyzdxQxyzdyRxyzdz(),(),()()(),(),()()(),(),()()PxtytztxtQxtytztytRxtytztztdt（6）若曲面:(,)((,))xyzzxyxyD，则22(,,),,(,)1(,)(,)xyxyDfxyzdSfxyzxyzxyzxydxdy其中xyD为曲面在xOy面上的投影域.若曲面:(,)((,))yzxxyzyzD，则22(,,)(,),,1(,)(,)yzyzDfxyzdSfxyzyzxyzxyzdydz其中yzD为曲面在yOz面上的投影域.若曲面:(,)((,))zxyyxzxzD，则22(,,),(,),1(,)(,)zxzxDfxyzdSfxyxzzyyzyyzdzdx其中zxD为曲面在zOx面上的投影域.（7）若有向曲面:(,)zzxy，则(,,)[,,(,)]xyDRxyzdxdyRxyzxydxdy（上“+”下“-”）其中xyD为在xOy面上的投影区域.若有向曲面:(,)xxyz，则(,,)[(,),,]yzDPxyzdydzPxyzyzdydz（前“+”后“-”）其中yzD为在yOz面上的投影区域.4/13若有向曲面:(,)yyxz，则(,,)[,(,),]zxDQxyzdzdxQxyxzzdzdx（右“+”左“-”）其中zxD为在zOx面上的投影区域.（8）ddLPxQy与路径无关dd0cPxQy（c为D内任一闭曲线）(,)duxyPdxQdy（存在(,)uxy）PQyx其中D是单连通区域，(,),(,)PxyQxy在D内有一阶连续偏导数.（9）格林公式(,)(,)LDQPPxydxQxydydxdyxy其中L为有界闭区域D的边界曲线的正向，(,),(,)PxyQxy在D上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式(,,)(,,)(,,)PQRPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdydvxyz或(coscoscos)PQRPQRdSdvxyz其中为空间有界闭区域的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)PxyzQxyzRxyz在上具有一阶连续偏导数，cos,cos,cos为曲面在点(,,)xyz处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式dydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQR其中为曲面的边界曲线，且的方向与的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,PQR在包含在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1.计算曲线积分或曲面积分的步骤：5/13（1）计算曲线积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）；2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：①判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分；②判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③将其化为定积分直接计算.④对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）；2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：①判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；②将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算.例1计算曲线积分2LdxdyIxyx，其中L为1xy取逆时针方向.解2222111LLLLdxdydxdydxdyIxyxxxx由于积分曲线L关于x轴、y轴均对称，被积函数211PQx对x、y均为偶函数，因此220,011LLdxdyxx故20LdxdyIxyx『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.6/13例2计算曲面积分2()IaxbyczndS，其中为球面2222xyzR.解2()IaxbyczndS2222222(222222)axbycznabxyacxzbcyzanxbnycnzdS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0xydSxzdSyzdSxdSydSzdS又由轮换对称性知222xdSydSzdS故2222222IaxdSbydSczdSndS22222()abcxdSndS22222222()43abcxyzdSRn22222222222244[()]33abcRRdSRnRabcn『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3计算曲面积分222()xyzdS，其中为球面2222xyzax.解2222()22()2xyzdSaxdSaxadSadS222402248adSaaa『方法技巧』积分曲面是关于0xa对称的，被积函数xa是xa的奇函数，因此()0xadS例4计算曲线积分2222Lxydyxydxxy，其中L为圆周222(0)xyaa的逆7/13时针方向.解法1直接计算.将积分曲线L表示为参数方程形式cos:(:02)sinxaLya代入被积函数中得222322220[cossincoscossin(sin)]Lxydyxydxadxy22322322002sincos2sin(1sin)adad324332013118(sinsin)8224222adaa解法2利用格林公式2222222211()LLDxydyxydxxydyxydxxydxdyaaxy其中222:Dxya，故222232200112aLxydyxydxddaaxy『方法技巧』本题解法1用到了定积分的积分公式：2013223sin13312422nnnnnndnnnnn为奇数为偶数解法2中，一定要先将积分曲线222xya代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,PQ在D内有一阶连续偏导数的条件.例5计算曲线积分22()()Lxydxxydyxy，其中L为沿cosyx由点(,)A到点(,)B的曲线弧.解直接计算比较困难.由于2222,xyxyPQxyxy，222222()PxyxyQyxyx因此在不包含原点(0,0)O的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周2222xy上从(,)A到点(,)B的弧段L代替原弧段L，8/13其参数方程为：2cos5:(:)442sinxLy，代入被积函数中得222()()1()()2LLxydxxydyxydxxydyxy544[(cossin)(sin)(cossin)cos]d54432d『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段L，既要保证L简单，又要保证不经过坐标原点.例6计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中为1xyz的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解由于曲面具有轮换对称性，xdydzydzdxzdxdy，投影到xOy面的区域(,)1xyDxyxy，故233(1)xdydzydzdxzdxdyzdxdyxydxdy21(1)22003(1)3(1)xyxDxydxdydxxydy14