高等代数【北大版】7.7

§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵§7.7不变子空间一、不变子空间的概念二、线性变换在不变子空间上的限制§7.7线性变换的定义三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解§7.7不变子空间设是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的的子空间，若有,W()()即则称W是的不变子空间，简称为－子空间.V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一个变换来说，都是－子空间.一、不变子空间1、定义注：§7.7不变子空间1）两个－子空间的交与和仍是－子空间.2）设则W是－子空间12(,,),sWL12(),(),,().sW证：显然成立.任取设,W1122,sskkk则1122()()()().sskkk故W为的不变子空间.2、不变子空间的简单性质由于12(),(),,(),sW().W§7.7不变子空间1）线性变换的值域与核都是的()V10不变子空间.证：()(),VVV,()().VV有故为的不变子空间.()V又任取有10,1()0(0).3、一些重要不变子空间1(0)也为的不变子空间.§7.7不变子空间2）若则与都是－子空间.,()V1(0)证：()().VV对存在使(),,VV(),于是有，()()()()()()V()V为的不变子空间.10,0,V其次，由对有10,0.§7.7不变子空间于是()()()()(0)0.1()0.故为的不变子空间.10的多项式的值域与核都是的不变子空间.()f这里为中任一多项式.()fx[]Px()()ff注：§7.7不变子空间,WkW4）线性变换的特征子空间是的不变子空间.0V,.oooVV有5）由的特征向量生成的子空间是的不变子空间.证：设是的分别属于特征值12,,,s12,,,s的特征向量.3）任何子空间都是数乘变换的不变子空间.任取12(,,,),sL设1122,sskkk则11122212()(,,,)sssskkkL12(,,,)sL为的不变子空间.§7.7不变子空间事实上，若,0.WLkkP则为的一组基.L因为W为－子空间，(),W即必存在使,P.是的特征向量.特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一个一维－子空间.反过来，一个一维－子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间.注：§7.7不变子空间二、在不变子空间W引起的线性变换定义：不变子空间W上的限制.记作.W在不变子空间W上引起的线性变换，或称作在设是线性空间V的线性变换，W是V的一个的不变子空间.把看作W上的一个线性变换，称作§7.7不变子空间①当时，W()().W③任一线性变换在它核上引起的线性变换是零变换，即100;即有0.VoE注：当时，无意义.W()W.②在特征子空间上引起的线性变换是数乘变换，0V§7.7不变子空间1、设是维线性空间V的线性变换，W是V的n－子空间，为W的一组基，把它扩允为12,,,kV的一组基：121,,,,,.kkn若在基下的矩阵为，则W12,,,k1kkAP在基下的矩阵具有下列形状:12,,,n123.0AAA三、不变子空间与线性变换的矩阵化简§7.7不变子空间反之，若1212123,,,,,,,0nnAAA1.kkAP则由生成的子空间必为的12,,,k不变子空间.事实上，因为W是V的不变子空间.12(),(),,().kW即，均可被12(),(),,()k12,,,k线性表出.§7.7不变子空间从而，12(,,,)n111211,11111122,1212,1121,1,1(,,,)000000kknkknkkkkkkknnkkknnknnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa12123(,,,).0nAAA11112121212122221122()()()kkkkkkkkkkaaaaaaaaa设§7.7不变子空间在这组基下的矩阵为iW,,1,2,,.iinniiAAPis若，则12sV121112121,,,,,,,,,snnssn为V的一组基，且在这组基下的矩阵为准对角阵2、设是维线性空间V的线性变换，都是niW的不变子空间，而是的一组基，且iW12,,,iiiin12.sAAA（1）§7.7不变子空间的子空间为的不变子空间，且V具有直和分解：iW12.sV由此即得：下的矩阵为准对角矩阵(1),则由生成12,,,iiiinV的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形V可分解为一些的不变子空间的直和.反之，若在基121112121,,,,,,,,,snnssn§7.7不变子空间定理12：设为线性空间V的线性变换，是()f1212()()()()srrrsf12.sVVVV四、线性空间的直和分解是的特征多项式.若具有分解式：()f再设()()0,iriiVEV则都是的不变子空间；且V具有直和分解：iV§7.7不变子空间证：令()()()iiriff(),iiWfV则是的值域，iW()if是的不变子空间.iW又()()()iirriiiiEWEfV()()iriiEfVfV()0.iriiEW（2）111111()()()(),iisrrrriis§7.7不变子空间下证分三步：12.sVVVV1.证明12.sV12(),(),()1sfff∴存在多项式使12(),(),,(),suuu1122()()()()()()1ssufufuf于是1122()()()()()()ssufufufE∴对有,V2.证明是直和.12sVVV3.证明,1,2,,.iiVWis§7.7不变子空间1122()()()()()()()ssufufuf1122()()()()()()fufu()()()ssfu这里()()()(),1,2,,.iiiifufVWis12.sV1122()()()()()()()()()ssufufuf()E§7.7不变子空间其中iiV（也即，），()()0iriiE0,1,2,,.iis则()(),jrjifij∴存在使(),h()()().jrijfh于是()()().jrijfhE120s(3)即证，若2.证明是直和.12sVVV§7.7不变子空间用作用（3）的两端，得()if12()()isf()()()()()jrijjjfhE()()00,.jrjjhEhji又(),()1.iriif12()()()()()()iiisfff()()0iif§7.7不变子空间()(0)()(0)0,1,2,,.uvis()()()()()()iriiiiufvE()()()()()()iriiiiiEufvE从而()()()()iriiufvEE所以是直和.12sVVV()()()()1iriiufv∴有多项式，使(),()uv§7.7不变子空间3.证明:()()0,iriiiWVEV1()(0)iriiWE首先由(2)，有12,.siiW即12()0is其次，任取设,iV.iiWV即令,();.jjiiji()0.iriiEW§7.7不变子空间1212ssVVV0,1,2,,.iis由（2）,有()()0,1,2,,.iriiEis从而有()()0,1,2,,.iriiEis()()()()0iirriiiEE()()()()iirriiiiEE又又120,s由，是直和，它的零向量分解式212sVVV即,iiV唯一.§7.7不变子空间综合，即有1,2,312.sVVVV于是.iiW故()()0,.iriiiWVEV即有.iiVW是的不变子空间，且iV§7.7不变子空间练习：设3维线性空间V的线性变换在基123,,下的矩阵为122212.221A证明：是的不变子空间.1213(,)WL证：令112213,由123123(,,)(,,)A1212311(,)(,,)10.01§7.7不变子空间有1212311(,)(,,)100112311(,,)1001A12312211,,212102210112311,,10.01§7.7不变子空间即1121()2132()12(),().W故W为的不变子空间.