高等代数【北大版】8.6

§2λ－矩阵的标准形§3不变因子§1λ－矩阵§4矩阵相似的条件§6若当(Jordan)标准形的理论推导§5矩阵相似的条件小结与习题第八章λ─矩阵§8.6若当标准形的理论推导一、若当块的初等因子二、若当形矩阵的初等因子§8.6若当标准形的理论推导三、若当标准形存在定理§8.6若当标准形的理论推导若当块00000000100000001nnJ的初等因子是0.n一、若当块的初等因子§8.6若当标准形的理论推导证：00000000100000001nnEJ00.nEJ此即的级行列式因子.0EJn又有一个级子式是0EJ1n§8.6若当标准形的理论推导01010001001001001n所以的级行列式因子为1.0EJ1n从而，的级行列式因子皆为1.0EJ2,,2,1n0J的不变因子是:1101,.nnnddd故的初等因子是:0J0.n§8.6若当标准形的理论推导若当形矩阵12,sJJJJ其中000100000001iiiiiiikkJ则J的全部初等因子是：1212(),(),,().skkks二、若当形矩阵的初等因子§8.6若当标准形的理论推导证：的初等因子是(),1,2,,ikiisiJiEJ与矩阵等价.111iki于是12sEJEJEJEJ§8.6若当标准形的理论推导与矩阵D1212111111skkks等价.由定理9，的全部初等因子是：J1212(),(),,().skkks§8.6若当标准形的理论推导初等因子唯一确定.完全被它的级数与主对角线上的元素所刻划，0而这两个数都反应在它的初等因子上.0()n可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的.由于每个若当块因此，若当块被它的初等因子唯一决定.从而，若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的§8.6若当标准形的理论推导（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.三、若当标准形存在定理1.§8.6若当标准形的理论推导证：若n级复矩阵A的全部初等因子为:（*）1212(),(),,().skkks（其中可能有相同的，指数12,,,s12,,,skkk也可能相同的）.每一个初等因子对应于一个若当块()iki000100,1,2,,000001iiiiiJis§8.6若当标准形的理论推导令12sJJJJ则J的初等因子也是（*），故J与A相似.即J与A有相同的初等因子.§8.6若当标准形的理论推导变换，在V中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去2.定理10换成线性变换的语言即为（定理11）设是复数域上n维线性空间V的线性若当块的排序外是被唯一确定的.§8.6若当标准形的理论推导的初等因子全是一次的.A3.特殊情形（定理12）复矩阵A与对角矩阵相似的不变因子没有重根.A（定理13）复矩阵A与对角矩阵相似§8.6若当标准形的理论推导4.n阶复矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子.()nd证：设A的若当标准形是12,sJJJJ1.siinn其中000100,000001iiiiiiinnJ1212(),(),,().skkks§8.6若当标准形的理论推导,1,2,,.iniis由一知，的最小多项式是iJ由不变因子与初等因子的关系知，1212()(),(),,().skkknsd由§7.9中引理3之推论知，()nd为A的最小多项式.又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，所以，A的最小多项是它的最后一个不变因子().nd§8.6若当标准形的理论推导例1、求矩阵A的若当标准形.解：112336224A112336224EA211220220212102202§8.6若当标准形的理论推导21000020210000002A的初等因子为,,2.故A的若当标准形为000000.002210002202210000200§8.6若当标准形的理论推导求A的若当标准形.例2、已知12级矩阵A的不变因子为2222291,1,,1,(1),(1)1,11(1)个解：依题意，A的初等因子为2221,1,1,1,221,,ii§8.6若当标准形的理论推导A的若当标准形为1011101110111111iiii§8.6若当标准形的理论推导练习：求矩阵A的若当标准形111333222A答案：21000000EAA的初等因子为2,A的若当标准形为000000.010