高等代数【北大版】10-1

第十章双线性函数§10.1线性函数§10.2对偶空间§10.3双线性函数§10.4对称双线性函数§10.1线性函数一、线性函数的定义二、线性函数的简单性质§10.1线性函数§10.1线性函数(1)()()()fff(2)()()fkkf设V是数域P上的线性空间，映射，若满足：:fVP,,VkP则称为V上的一个线性函数.f一、线性函数的定义定义§10.1线性函数二、线性函数的基本性质1.(0)0,()()fff2.若，则1122sskkk1122()()()()ssfkfkfkf3.设为一个线性函数，为:fVP12,,,nV1122,nnVkkk(),1,2,,iifain的一组基，1122()()()()nnfkfkfkf则1122nnkakaka§10.1线性函数即可由的基的角确定.fV反之，设是P中任意个确定的数，12,,,naaan而为发V的一组基.12,,,n则为线性函数，且:fVP1122,nnVkkk1(),niiifka令(),1,2,,iifain§10.1线性函数是到P的一个线性函数.nP例2.设，则()nnijAaP1()niiifAtraceAa是到的一个线性函数.nnPP例1.设1212,,,,(,,,)nnnaaaPxxxP1()niifa则§10.1线性函数例3.设是数域上的线性空间，为的P12,,,nVV一组基，是上的一个线性函数，已知fV132312()1,(2)1,()3fff求112233().fxxx解：132312()()1()2()1()()3ffffff112233123()473.fxxxxxx所以123()4()7()3fff§10.1线性函数例4.是数域上的3维线性空间，是上的VPfV一个线性函数，已知131312()(2)0,()1,fff求.f131312()()0()2()0()()1ffffff解：则112233,xxxV123()0()1()0fff222()().fxfx§10.1线性函数定理1设V为数域P上的一个n维线性空间，1,2,,.iifain，为V的一组基，12,,,n为P中12,,,naaa任意n个数.则存在唯一的V上线性函数f使§10.1线性函数证明：映射，:fVP112233112233xxxxaxaxa即为上的线性函数，且V(),1,2,,iifain若还有是上线性函数使gV(),1,2,,,iigain则有112233,xxxV1122()()()()nngxgxgxg1122()()()nnxfxfxffg1122nnxaxaxa1122()()nnfxxxf