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第十章双线性函数§10.1线性函数§10.2对偶空间§10.3双线性函数§10.4对称双线性函数§10.3双线性函数一、双线性函数二、度量矩阵§10.3双线性函数三、非退化双线性函数§10.3双线性函数一、双线性函数设是数域上的维线性空间,映射VPn定义:fVVP为上的二元函数.V,,V即对根据唯一地对应于中一个数fP(,),f如果(,)f具有性质:11221122(1)(,)(,)(,)fkkkfkf11221122(2)(,)(,)(,)fkkkfkf其中121212,,,,,,,VkkP则称为上的一个双线性函数.(,)fV§10.3双线性函数对于线性空间V上的一个双线性函数当固定一个向量(或)不变时,可以得出一个双线性函数.(,)f注例1.线性空间上的内积即为一个双线性函数.V:,(,)(,),,fVVPfV§10.3双线性函数例2.上两个线性函数V12,:,ffVP12:,(,)()()fVVPfff定义证明:f是V上的一个双线性函数.1122121122(,)()()fkkffkk1122(,)(,),kfkf1122111222(,)()()fkkfkkf11222(,)(,)kfkf证:§10.3双线性函数例3.设是数域上的维线性空间,nPPn.nnAP1122,,nnxyxyXYVxy:fVVP令则为上的一个双线性函数.(,)fXYnP(),ijnnAa若11112121(,)'nnnnnnxaaxfXYXAYxxxaax,1nijijijaxx(,)'.XYXAY则①②§10.3双线性函数事实上,①或②是数域上任意上的维线性空间上双线性函数的一般形式.PVn(,)f设为数域上线性空间V的一组基,12,,,nP设12112212()nnnnxxxxxx12()nX12112212()nnnnyyyyyy12()nY§10.3双线性函数则11(,)(,)(,),nniiiiijijijffxyfxx1111nnnnaaAaa(,),,1,2,,,ijijafijn令1212(,),nnyyfxxxAy1111(,)(,).(,)(,)nnnnffAff则其中§10.3双线性函数设是数域上任意上的n维线性空间V上一个双线性函数,为V的一组基,则矩阵(,)fP12,,,n111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)nnnnnnffffffAfff称为在下的度量矩阵.(,)f12,,,n二、度量矩阵定义§10.3双线性函数命题1在给定基下,上全体双线性函数与上全体级矩阵之间存在1─1对应.VPn12,,,,n证:取定的一组基V双线性函数11(,)(,)(,),nniiiiijijijffxyfxx令1111(,)(,).(,)(,)nnnnffAff则与对应.(,)ijAff即与在下的度量矩阵对应.f12,,,nf§10.3双线性函数且不同双线性函数对应的在下的度量矩阵不同.12,,,n事实上,若在下的度量矩阵分别为,fg12,,,n(,),(,)ijijAfBg且时fg.AB(,)(,),,1,2,,.ijijfgijn即则对任意1122,nnxxx1122.nnyyyV有§10.3双线性函数(,)(,)(,)iiiiijijffxyfxx(,)(,)(,)iiiiijijggxygxx.fg矛盾.反之,任取1111,nnnnnnaaAPaa对V中任意向量11,,nniiiiiixy(,)',ijijfXAYaxy定义函数则f为V上的一个双线性函数.在下的度量矩阵即为(,)f12,,,n.A§10.3双线性函数命题1′线性空间V上双线性函数空间与同构.*VnnP12,,,,n证:取定V的一组基作映射*:,(,)(,)nnijVPfAf则为到的1─1对应.*VnnP事实上,任取11,,,nnnniiiiiiBPxyV1212(,),nnyygxxxBy则为满射.是V上的一个双线性函数.§10.3双线性函数若双线性函数但(,)(,),fg()().fg(,)(,).ijgBg设(,)(,),ijfAf则1212(,)(,)nnyyfxxxAgy1212.nnyyxxxBy为单射.§10.3双线性函数令()(,)(,)(,)fgfg()(,)[(,)]kfkf易证仍为V上双线性函数.,fgkf并且()(,)(,)(,)ijijijfgfg(,)(,)ijijfgABfg(,)ijkfkAkf§10.3双线性函数命题2维线性空间V上同一双线性函数,在V的不同基下的矩阵是合同的.n(,)f证:设在V的基与下的度量矩阵分别为(,)f12,,,n12,,,n,.AB11,XCXYCY1111(,)'()'()''''fXAYCXACYXCACY1212(,,,)(,,,)nnC12121(,,,)(,,,)nnXX12121(,,,)(,,,)nnYY§10.3双线性函数11(,)'.fXBY'.BCAC即A与B合同.注:若矩阵A与B合同,则存在一个双线性函数及V上两组基,使在这两组基下的度量矩阵为(,)f(,)f,.AB§10.3双线性函数定义设是线性空间V上的一个双线性函数,如果从可推出则称是非退化的.(,)f(,)0,fV0.(,)f命题3双线性函数是非退化的的度量矩阵为非退化的.(,)f(,)f三、非退化双线性函数§10.3双线性函数121212()(),nnnxxXx121212()().nnnyyYy(,)'.fXAY证:设双线性函数在基下度量矩阵为(,)f12,,,n,A§10.3双线性函数若对任意均成立.(,)'0fXAYV即对任意均有Y'0.XAY必有'0,'0.XAAX而只有零解'0AX'0.A即即非退化.0,AA推论:由可推出,V(,)0f0,则非退化.f§10.3双线性函数例、设定义上的一个二元函数,mmAPmnP(,)('),,mnnnfXYTrXAYXYP(1)证明f是上得双线性函数;mnP(2)求在基(,)fXY1112121,,,,,,,,,nnmmnEEEEEE下的度量矩阵.§10.3双线性函数(1)证11221122(,)('())fXkYkYTrXAkYkY1122('')TrXAkYXAkY1122(')(')TrkXAYTrkXAY1122(,)(,)kfXYkfXY11221122(,)(,)(,)fkXkXYkfXYkfXY1122('')TrkXAYkXAY1122(')(')kTrXAYkTrXAY§10.3双线性函数所以度量矩阵为111212122212.nnnnnnnnmnmnmnnaEaEaEaEaEaEaEaEaE(2)解:(,)(')0ikijktijktajtfEETrEAEjt
本文标题:高等代数【北大版】10-3
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