2009年高考陕西省试题及答案(文数)

课程设计（论文）题目:_用古典迭代法（Jacobi、Guass-Seidel、SOR迭代）求线性代数方程组的解___学院:理学院专业:数学与应用数学班级:_____09-1班__学生姓名:___杨振亚__________学生学号:______2009026219_______指导教师:_李文宇______2011年12月20日数值计算方法课程设计1目录第一章绪论.....................................................4第二章Jacobi迭代法..........................................42.1Jacobi迭代原理...............................................42.2问题描述：...................................................52.3问题解答.....................................................52.3.1ｍ文件..................................................52.3.2问题求解...............................................62.4结论.........................................................7第三章Guass-Seidel迭代法.....................................73.1Guass-Seidel迭代法原理......................................73.2问题描述.....................................................83.3问题解答.....................................................83.3.1ｍ文件..................................................83.3.2问题求解...............................................93.4结论.........................................................9第四章SOR迭代法...............................................94.1SOR迭代法原理...............................................94.2逐次超松弛迭代法的步骤.....................................104.3问题描述....................................................104.4问题解答....................................................114.4.1ｍ文件.................................................114.4.2问题求解..............................................114.5结论........................................................12数值计算方法课程设计2课程设计任务书学院理学院专业数学与应用数学学生姓名杨振亚班级学号19课程名称计算方法课程设计题目用古典迭代法（Jacobi、Guass-Seidel、SOR迭代）求线性代数方程组的解一、基本理论：在消元法基础上应用迭代法求解线性方程组，主要应用Jacobi、Guass-Seidel、SOR迭代法求解线性方程组，线性方程组用矩阵表示。二、研究方法：用每种方法解决一道问题从中明白各种方法的应用与优劣。三、预期成果：能用三种迭代法计算线性方程组，能用数学软件解决问题，比较三种方法的收敛快慢。四、参考资料：1李庆扬，易大义，王能超.现代数值分析.北京：高等教育出版社，19952许树方，高立数值线性代数，北京；北京大学出版社，2000.3刘新国数值代数基础，青岛；青岛大学出版社，1996.4李维国，黄炳家，刘新海等数值计算方法，北京；石油大学出版社，2004.五、时间安排：课程安排1周分3次完成：第一次（1-2天）：查找资料，找到题目。第二次（3-5天）：上机编程，解决问题。第三次(5-7天)：综合生成论文。指导教师（签字）：年月日专业负责人（签字）：年月日主管院长（签字）年月日数值计算方法课程设计3摘要Jacobi迭代法就是直接从方程组的第i个方程中解出ix的表达式，把初始解代入ix表达式，求出ix记为)1(ix，为第一次迭代结果，若未达到精度要求则把)1(ix代入ix表达式得出结果记为)2(ix，一直迭代直到达到精度要求为止，这种迭代方法思想简单易于理解，但其收敛速度往往不快计算量较大在此基础上发展了高斯-赛德尔迭代法,其思想为把Jacobi迭代法中已求出的)(1kx)(kix和上次迭代出)1()1(2knkixx的代入1ix表达式得到)(1kix其思想也不复杂，一般情况下，雅可比迭代法与高斯-赛德尔法法比较并无优劣，收敛情况与速度均不一定。但是，具有相容次序的矩阵，在相同精度要求下，高斯-赛德尔法法比雅可比迭代法快一倍。逐次超松弛迭代法是在系数矩阵中加入参数，随着参数的取值不同收敛速度不同。当参数等于1时逐次超松弛迭代法即为高斯-赛德尔迭代法。当参数大于1时，称为超松弛法；当参数小雨1称为低松弛。逐次超松弛迭代法每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。具有相容次序的矩阵，在相同精度要求下，高斯-赛德尔法法比雅可比迭代法快一倍，而SOR法的收敛速度可提高一个数量级。因此能大量减少计算量。本文主要是应用Jacobi迭代法、高斯-赛德尔迭代法、逐次超松弛迭代法求线性方程组并没有讨论各个方法的收敛性与收敛与的快慢，本文分别用这3中方法解决3道问题，在解决问题过程中掌握各个方法，并能用此3种方法解决问题。关键词：Jacobi迭代法，高斯-赛德尔迭代法，逐次超松弛迭代法，迭代矩阵数值计算方法课程设计4第一章绪论在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归纳为求解形如Axb的大型线性方程组。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Axb的近似解，用某中极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如雅可比迭代法、高斯-赛德尔法、SOR法、SSOR法，这几种迭代法是最常见的一阶线性定常迭代法。雅可比迭代法基本思想为对于给定的线性方程组Ax=b，可以用不同的方法把它变为与之等价的，行为：x=Bx+f的方程组。选定初值，在反复的迭代中校正方程组根的近似值，并在此过程中求取符合计算精度要求的方程组的近似值。高斯—塞得儿迭代法的基本思想与雅可比迭代法相似。只是在雅可比迭代法中，每次迭代时只用到上次的值，尔高斯-塞得儿迭代法中充分利用了最新得到的值。逐次超松弛迭代法主要是在前面的高斯-赛德尔法基础上加以改进，考虑引入适当的松驰因子及做适当的线性变换可得.三种迭代法的比较：（1）一般情况下，雅可比迭代法与高斯-赛德尔法法比较并无优劣，收敛情况与速度均不一定。（2）但是，具有相容次序的矩阵，在相同精度要求下，高斯-赛德尔法法比雅可比迭代法快一倍，而SOR法的收敛速度可提高一个数量级。（3）若线性方程组系数A是严格对角占优或不可约对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛第二章Jacobi迭代法：2.1Jacobi迭代原理：设有一个n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)11(它的矩阵形式为AX=Ｂ，如果Ａ＝（ija）nn非奇异，且iia0，ni,2,1。由式)11(可得数值计算方法课程设计5nijjjijiiiixabax11（ni,2,1）而其相应的迭代公式为nijjkjijiiiixabax1)(1（ni,2,1）下面介绍迭代格式的矩阵表示：设D=diag(a11,a22,…,ann)，将AX=b改写为：AX=(D–(D-A))x=bDX=(D-A)x+bX=(I–D-1A)x+D-1b记B=I–D-1AF=D-1b则迭代格式的向量表示为FBXXkk)()1(2.2问题描述：用Jacobi迭代法求解线性方程组19941.00092.00002.000077.09946.00046.010002.00005.09889.0321321321xxxxxxxxx2.3问题解答2.3.1ｍ文件：function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin)ifnargin==3eps=1.0e-6;M=200;elseifnargin3errorreturnelseifnargin==5M=varargin{1};endD=diag(diag(A));%求A的对角矩阵数值计算方法课程设计6L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵U=-triu(A,1);%求A的上三角阵B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;n=1;%迭代次数whilenorm(x-x0)=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;if(n=M)disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！');return;endend2.3.2问题求解：A=[0.9889-0.0005-0.0002;-0.00460.99460.0077;-0.00020.00920.9941;],B=[101]'A=0.9889-0.0005-0.0002-0.00460.99460.0077-0.00020.00920.9941B=101x0=ones(3,1)；[x,n]=jacobi(A,B,x0)x=1.0114-0.00311.0062n=4数值计算方法课程设计72.4结论经过４次迭代得到满足精度要求的近似解0062.1,0031.0,0114.1321xxx第三章Guass-Seidel迭代法3.1Guass-Seidel迭代法原理设有一个n阶线性方程组，而系数矩阵A的主对角线上的元素非零，把方程组AX=b类似于雅克比迭代法进行迭代，假设已经求出)1(2)1(1,xx……)1(1ix，那么将(,,)1(2)1(1xx…，,,)0(1)1(1iixx…，)0(nx)代入下式，)(111,11,2211inimiiiiiiiiiiibxaxaxaxaxaax（ni,2,1）的第i个方程，确定一个ix值，记为)1(ix，即)(1)0()0(11,)1(11,)1(22)1(11)1(inimiiiiiiiiiiibxaxaxaxaxaax（ni,2,1）（2-1）算出全部，则完成高斯-赛德尔迭代法的第一步。记)1(1X),2,1(),(),,()1()1(1niabgjiaabxxiiiiiiijijn则式2-1变为)1(11)1(xbxiiininiiiiiiigxbxbxbxb)0(