2009数模试题与答案

1华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009学年第二学期考试科目：数学模型考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号B姓名年级专业题号123456789总分得分评阅人1、（13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。（1）排列1：圆盘中心按正方形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。（4分）解：圆盘总数：202010022排列2：圆盘中心按六角形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。（4分）解：行数：2021113圆盘总数：20111110522（2）设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。（5分）解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106（此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候，但仍需改进的时候，应该考虑这两者的综合是否可行，如果可行，则给出方案。）2、（10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。5分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。5分解：设体重w（千克）与举重成绩y（千克）（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以yIS设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则Sh2再体重正比于身高的三次方，则wh3故举重能力和体重之间关系的模型为：（2）体重中与成年人尺寸无关的重量为a,则一个最粗略的模型为更好的模型：得分得分23ykw23()ykwa()ykwa23、（10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。（1）请写出商品价恪c与商品重量w的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。（5分）（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释。（5分）解：（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含w和s成正比的部分，上述三种都含有与w和s均无关的成分。又因为形状一定时有23sw，故商品的价格可表示为23Cww，,,为大于0的常数。（2）单位重量价格113Cc。显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，函数曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大时逐渐降低的。4、（10分）药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设H为药物的最高安全量级，L为最低有效量级，x0为每次所开药物的剂量，T为用药间隔时间。现给定H＝2.5mg/ml，L＝0.5mg/ml。并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比（设比例系数k＝0.01），（1）写出第n次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；5分解：设Cn(t)表示第n次用药期内时刻t的药物浓度，其变化的动力学模型为：其中：x0=H-L=2mg/ml，（2）请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划。5分解：112.5lnln160.94380.010.5HTkL5、（13分）设在一个一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律，植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。（1）请建立三者关系的模型；5分解：将植物、哺乳动物和爬行动物的数量分别记为x1(t)、x2(t)和x3(t)，则三者关系模型为：11112222221323333323()()()dxxrxdtdxxxrxxdtKdxxxrxdtK（2）求平衡点；3分得分得分得分01()()(0)nnnndCtkCtdtCxR102()kTnnandRxRe10kTRxe102()kTnnandRxRe3A（0，0，0）或B（x1，x2，x3），其中12133332212322()1()rxxkrxxxrxK（3）分析各平衡点的稳定性。5分（送分）6、（12分）某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，其中，建立了如下的层次分析模型：并分别建立了如下的准则层B1,B2,B3对目标层A的成对比较矩阵：（1）请判断矩阵A是否为一致阵（已知RI=0.58）；（6分）解：首先计算A的最大特征值，令|A-E|=0，得max=3.0945，对应的归一化特征向量u=(0.0943，0.6259，0.2798)T计算CI=（3.0945-3）/(3-1)=0.0473计算CR=CI/RI=0.08160.1所以A是一致阵。（2）若还已经求得方案层C1，C2，C2对准则层B1,B2,B3的权向量分别为（0.595，0.277，0.128），（0.082，0.236，0.682），（0.429，0.429,0.142）,据此计算该选择何种方案。（6分）解：由于w=0.5950.2770.1280.09430.0820.2360.6820.62590.26530.34620.34870.4290.4290.1420.2798因此，选择课题C3。7、（10分）设报童销售一份报纸的零售价为a=15分，购进价b=8分，退回价c=6分。设每天需求量为r时的概率为f(r)（r=0,1,2…）。请回答如下两个问题：（1）当每天购进n份时，请写出日平均收入G(n)的模型；（5分）得分得分合理选择课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题C1课题C2课题C3目标层准则层方案层11/61/351341/31A4解：（2）当n满足什么条件时，日平均收入G(n)最大。（5分）解：满足如下条件：8、（10分）设磷元素在土壤中记状态1，在草、牛、羊等生物体中记状态2，此外记3。随机变量nX表示磷元素在第n年的状态，记()()inanPXi，状态概率向量123()((),(),())anananan。三种状态和状态转移概率表示如下：（1）写出状态转移矩阵P。3分解：（2）什么叫吸收状态？指出哪个状态吸收状态。3分解：吸收态指一旦到达就不会离开的状态i,pii=1。3是吸收态。（3）若(0)(1,0,0)a，计算(2)a。4分解：(2)a=9、（12分）在意外事件发生的时候，建筑物内的人员是否能有效疏散撤离是人们普遍关心的问题。尤其是911事件发生后。对于—个特定建筑物，人们关心疏散路线和全部疏散完毕所用时间等。这个问题可以通过反复的实际演习来解决。但多次反复的演习实际上是不可能的，理想的办法是通过理论上的分析来得到。考虑学校的一座教学楼，其中一楼有一排四间教室(下图)，学生们可以沿教室外的走道一直走到尽头的出口，试用数学模型来分析人员疏散所用时间。现有如下假设：得分得分n4n3n2n1L4L3L2L1出口00()[()()()]()()()[72()]()7()nnnnGnabrbcnrprdrabnprdrrnrfrdrnfrdr0()72()nnfrdrfrdr0.40.30.30.60.10.3001p20.40.30.31000.60.10.30.34000.15000.510000151）为简单起见，可设疏散时大家秩序井然地排成单行均匀稳定地向外走，则疏散时队列中人与人之间的距离为常数，记为d米；2）设逃离是匀速行进的，速度为v米／秒；并设置如下的符号体系：d——疏散时人与人的距离v——疏散时人员的行进速度ni——第i个课室的人数Li——第i个课室门口到第i–1个课室门口的距离t0——疏散时第一个到达教室门口所用的时间下面，设d=0.2米，v=0.5米／秒，n1=30，n2=40，n3=50，n4=35，L1=5米，L2=6米，L3=6米，L4=5米，t0=10秒请回答如下问题：（1）考虑靠近出口的第一个教室内人员的疏散。写出这个教室撤空的时间及全部撤离的时间；（4分）解：第一个课室全部撤空时间：10(1)(301)*0.21021.60.5ndtv（秒）第一个课室全部撤离时间：110(1)521.6=31.60.5Lndtvv（秒）（2）考虑第二个课室撤离时出现重叠的情况，即当第二个教室的第一个撤离者到达第一个教室的门口A时，第一个教室内的人还没有疏散完毕，这时如果两支队伍同时行进势必造成混乱，因此需要等待第一个教室撤空以后第二个教室的队伍再继续前进。请问本问题中会出现这种情形吗？并说明理由。（4分）解：由于第二个课室第一个人到达第一个课室门口的时间是：20610=2221.60.5Ltv因此，不需要等待。（3）请计算四个课室全部撤离所用时间。（4分）解：A．第二个课室第一个人到达第一个课室门口时间是202221.6Ltv，不需等待，因此，第二个课室全部撤空时间为：20(1)(401)*0.21025.60.5ndtv（秒）。B．第三个课室第一个人到达第二个课室门口时间是302225.6Ltv，故第二个课室需要等待，等待时间是25.6-22=3.6（秒）。加上等待时间，第三个课室全部撤空时间为：30(1)(501)*0.23.6103.633.20.5ndtv（秒）。C．第四个课室第一个人到达第三个课室门口时间是402033.2Ltv，因此，需要等待的时间是33.2-20=13.2（秒）。6因此，加上等待时间，四个课室全部撤离时间是：123440()(1)13.2(5665)(351)*0.21013.20.50.5=80.80LLLLndtvv（秒）