2009高等数学下试卷及答案

1华南农业大学期末考试试卷（A卷）2008--2009学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六七总分得分评阅人一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。将答案写在横线上）1．微分方程2'40yyy的通解为_______________。（今年不作要求）2．设yzx，则dz。3．设L是圆周221xy，L取逆时针方向,则2Lydxxdy__________。4．设0,||3,||1,||2abcabc,则abbcca。5.级数13211(1)nnn是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）1．过点(2,3,1)且垂直于平面2310xyz的直线方程是（）A．231231xyzB．231231xyzC．231231xyzD．231231xyz2．设22()zyfxy，其中()fu是可微函数,则zy（）A．22'12()yfxyB．22'12()yfxyC．2222'1()()xyfxyD．222'1()yfxy3．下列级数中收敛的是（）A．111nnnB．11nnnC．112(1)nnD．11(1)nnn24.设Ｄ：4122yx，f在D上连续，则Ddyxf)(22在极坐标系中等于（）Ａ.drrrf21)(2Ｂ.drrrf212)(2Ｃ.102202])()([2drrfrdrrfrＤ.102202])()([2drrrfdrrrf5.一曲线过点(,1)e，且在此曲线上任一点),(yxM的法线斜率lnxkyx，则此曲线方程为（）A.21ln22xyeeB.21ln21()2xyeeC.21ln2122xeyxeD.21ln2xye三．计算题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．已知2sin()zyxyx，求zx，2zxy。2．判定级数232333331222322nnn的收敛性。3．求级数11212)2()1(nnnnx的收敛域。4．计算二重积分22Dxdxdyy，其中D是由1xy，yx及2x所围成的闭区域。5．设区域D为222(0)xyaa，若22212Daxyd，求a的值。6.计算22222)(RzyxdxdydzzyxI.（今年不作要求）四．解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1．设ln0xzzy，证明0zzzyxy。32．某厂要用铁板做成一个体积为k3m的无盖长方体水池，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。3．计算LxxdyxyedxyyeI)cos()sin(，其中Ｌ为24xy由Ａ(2,0)至Ｂ(2,0)的那一弧段。4．计算dxdyzdzdxydydzxI222，其中是)0(222azzyx的外侧。（今年不作要求）5.设有连接点)0,0(O和)1,1(A的一段向上凸的曲线弧OA，对于OA上任一点),(yxP，曲线弧OP与直线段OP所围图形的面积为2x，求曲线弧OA的方程。华南农业大学期末考试试卷（A卷）参考答案一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）1.12(cos3sin3)xyeCxCx2.1lnyydzyxdxxxdy3.4.75.条件收敛二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）1.C2.B3.A4.A5.D三．计算题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.2cos()2zyxyxx………………..2分222cos()sin()zyxyxyxyxy……..3分2.1limnnnuu……..1分1133(1)2lim1322nnnnnnn……….3分所以级数发散………….1分43.令tx2，考虑级数11212)1(nnnnt212321232limtntntnnn当12t即1t时，亦即31x时所给级数绝对收敛；……..2分当1t即3x或1x时，原级数发散；……………2分当1t即1x时，级数11121)1(nnn收敛；当1t即3x时，级数1121)1(nnn收敛；级数的半径为R=1，收敛域为[1，3]。………………1分4.2222211xDxxxdxdydxdyyy……………….2分231()xxdx………………2分14……………………………1分5.22222200aDaxyddarrdr……………2分122222012()()()2aardar323a…………………………………..2分5所以32312a,得12a………………………………..1分6.I2222)(222Rzyxdxdydzzyx2222Rzyxxydxdydz22222Rzyxyzdxdydz22222Rzyxzxdxdydz……………..2分=20004sinRddd………………………………………2分=554R………………………………………………………………………..1分四．解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1.化简得,lnln0xzzzy设lnlnFxzzzy所以1,,ln1lnxyzzFFFzyy…………………….2分所以1ln1lnxzFzxFzy……………………………………….2分(ln1ln)yzFzzyFyzy………………………………….2分所以0zzzyxy…………………………………….2分2.设长、宽、高分别为,,xyz,则22Sxzyzxy且xyzk……………………………1分设(,,,)22()Lxyzxzyzxyxyzk……………..2分则62020220LzyyzxLzxxzyLxyxyxxyzk………………………………..3分解得33312,2,2.2xkykzk…………………….2分3.连接BA，并设由L及BA所围成的区域为D，………………….1分则BABALBABALI……………………………2分DxxdxdyyeyeGreen0)1cos1cos(公式………………3分422122………………………………………………..2分4.作辅助曲面az:1，上侧，则由Gauss公式得：…………….....1分I+11=11………………………………..2分=azzyxayxdxdyadxdydzzyx0,2222222)(2…………….2分=azyxazdxdydz042222………………………………………2分4043212aadzza……………………………………1分5.设OA的方程为)(xyy，且记)(00xyy则由题设条件得：002000)(xxdxxxyy7即00200021xxyxydx…………………………………………..2分将),(00yx改为),(yx得：xxxyydx0221……………….1分求导得：41yxy，且1)1(y……………………………..2分该方程的通解为dxxdxxedxecy11))4((xxc)ln4(……………………………….2分又1)1(y，即11)1ln4(c，所以1c故所求的曲线方程为y)ln41(xx(01)x…………….1分