2010-2011学年上海市杨浦区同济大学一附中高二(上)期中数学试卷

2010-2011学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷菁优网©2010-2014菁优网2010-2011学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，满分48分）1．（4分）已知4与x的等比中项为2x，则x=_________．2．（4分）若等差数列{an}中，a3+a12=2011，a9=2008，则a6=_________．3．（4分）在平行四边形ABCD中，，，O在AC上且，则=_________．（用、表示）4．（4分）计算：=_________．5．（4分）计算=_________．6．（4分）用数学归纳法证明：f（n）=（n+1）（n+2）•…•（n+n）＜（2n）n（n≥2，n∈N*）时，f（k+1）=f（k）•_________．7．（4分）已知，则与同向的单位向量为_________．8．（4分）已知向量，若A，B，C三点共线，则k=_________．9．（4分）若与夹角为120°，，则=_________．10．（4分）（2011•崇明县二模）若一个无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，则首项a1取值范围是_________．11．（4分）若数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2（n∈N*），则通项公式an=_________．12．（4分）若对于n个向量，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得，则称为“线性相关”，k1，k2，…，kn分别为的“相关系数”．依此规定，若线性相关，的相关系数分别为k1，k2，k3，则k1：k2：k3=_________．菁优网©2010-2014菁优网二、选择题（每小题3分，满分12分）13．（3分）下列等式正确的是（）A．B．C．D．14．（3分）若等差数列{an}，3a6=a8，且a1＜0，则前n项和Sn取得最小值时的n值为（）A．第9项B．第4项C．第5项D．第4项或第5项15．（3分）若存在，则实数r的取值范围（）A．B．C．D．或0＜r＜116．（3分）（2005•浙江）已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）三、解答题（满分40分）17．（6分）已知某市2000年底人口为100万，人均住房面积为5平方米，如果该市每年人口平均增长为2%，到2001年底新增住房面积10万平方米，以后每年新增住房面积比前一年新增住房面积多10万平方米，试问到2010年底，该市人均住房面积为多少平方米？（精确到0.01）18．（6分）已知等比数列{an}，首项a1=2，公比（1）求证：数列{an2}为等比数列；（2）求的值．19．（8分）已知向量与和的夹角相等，且，（2）求的坐标；（2）求与的夹角．20．（8分）若，（1）若满足与平行，求实数x的值；（2）若满足与垂直，求实数x的值；（3）若满足与所成角为钝角，求实数x的取值范围．21．（12分）定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为．若数列{an}的前n项的“均倒数”为，（1）求数列{an}的通项公式；菁优网©2010-2014菁优网（2）已知，数列{bn}的前n项和Sn，求的值；（3）已知，问数列{an•cn}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．菁优网©2010-2014菁优网2010-2011学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，满分48分）1．（4分）已知4与x的等比中项为2x，则x=1．考点：等比数列的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据等比中项的概念，列出关系式，并计算即可．解答：解：根据等比中项的概念，4x=（2x）2∴x=0或x=1．当x=0时，不合等比数列定义，应舍去．∴x=1．故答案为：1．点评：本题考查等比数列的定义，等比中项的概念．要注意等比数列中项的值不为0这一特点．本题也考查到这一点．2．（4分）若等差数列{an}中，a3+a12=2011，a9=2008，则a6=3．考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用等差数列的性质得到a9+a6=a3+a12，将已知条件代入求解．解答：解：由等差数列的性质得，a9+a6=a3+a12，∵a3+a12=2011，a9=2008，∴a6=2011﹣2008=3故答案为：3．点评：应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq．特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．3．（4分）在平行四边形ABCD中，，，O在AC上且，则=．（用、表示）考点：平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由已知中平行四边形ABCD中，O在AC上且，根据向量加法的平行四边形法则，则数量向量的几何意义，可得=（+），进而根据向量减法的三角形法则得到=﹣，结合，，即可得到答案．解答：解：∵在平行四边形ABCD中，，∴==（+）又∵=﹣=﹣（+）=﹣菁优网©2010-2014菁优网又∵，，∴=故答案为：点评：本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中根据向量加减法的三角形法则，将向量分解为用，表示的形式是解答本题的关键．4．（4分）计算：=．考点：极限及其运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：直接利用极限的运算法则，化简为型，求出表达式的极限值即可．解答：解：===．故答案为：．点评：本题是基础题，考查数列的极限的求法，考查计算能力，注意型的极限为0的应用．5．（4分）计算=．考点：数列的极限；数列的求和．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先利用裂项求和可得，=，代入可求极限=解答：解：∵2[]===∴=∴==菁优网©2010-2014菁优网故答案为：点评：本题主要考查了数列极限的求解，解题的关键是利用裂项求和，但本题裂项是考生容易出现错误的地方，由于中的容易漏掉，注意此类裂项的规律6．（4分）用数学归纳法证明：f（n）=（n+1）（n+2）•…•（n+n）＜（2n）n（n≥2，n∈N*）时，f（k+1）=f（k）•2（2k+1）．考点：数学归纳法．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．解答：解：由题意可得当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故答案为2（2k+1）．点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时，左边的式子除以n=k时，左边的式子，即得所求．7．（4分）已知，则与同向的单位向量为（，）．考点：平面向量的坐标运算；单位向量．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先用坐标运算求的坐标，进而求出其模并，从而求出与向量同向的单位向量．解答：解：∵，∴=（4，4）则||=4∴与同向的单位向量为（，）故答案为：（，）点评：本题考查平面向量的坐标运算，解决此类问题的关键是正确表达向量与求出向量的模，并且熟悉单位向量的定义，属于基础题．8．（4分）已知向量，若A，B，C三点共线，则k=2．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标；将三点共线转化为两个向量共线，利用向量共线的充要条件，菁优网©2010-2014菁优网列出方程求出k的值．解答：解：；∵A、B、C三点共线∴共线∴2×（k﹣3）=﹣2解得k=2故答案为2点评：解决三点共线问题，常转化为以三点为起点、终点的向量共线，再利用向量共线的充要条件解决．9．（4分）若与夹角为120°，，则=7．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先根据向量的数量积公式求出•，然后计算2的值，从而求出所求．解答：解：∵与夹角为120°，，∴•=cos120°=×5×=﹣2=4﹣4•+=4×+15+25=49∴=7故答案为：7点评：本题主要考查了数量积以及向量的模，求模的常用方法就是先求出模的平方，属于中档题．10．（4分）（2011•崇明县二模）若一个无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，则首项a1取值范围是（0，）∪（，1）．考点：极限及其运算；等比数列的性质．菁优网版权所有专题：计算题；分类讨论．分析：分若q=1，求=不存在；q≠1，时，由=，可得，且﹣1＜q＜1且q≠0，从而可求解答：解：设等比数列的首项为a1，公比为q，若q=1，则=不存在若q≠1，时，=菁优网©2010-2014菁优网∴，且﹣1＜q＜1且q≠0∴∴故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，要注意对公比分q=1，≠1两种情况的考虑分别求解数列的和，解题的关键是要由若q≠1，由=得，且﹣1＜q＜1且q≠0，解答本题时容易漏掉对q≠0的考虑．11．（4分）若数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2（n∈N*），则通项公式an=3n﹣1．考点：数列递推式．菁优网版权所有专题：计算题．分析：两边同加1，可得an+1+1=3（an+1），从而{an+1}是以a1+1=3为首项，q=3为公比的等比数列，故可求．解答：解：由题意an+1=3an+2，可得an+1+1=3（an+1）∴{an+1}是以a1+1=3为首项，q=3为公比的等比数列an+1=3•3n﹣1=3n故an=3n﹣1故答案为3n﹣1点评：本题以数列递推式为载体，考查等比数列，关键是运用整体思想，把{an+1}看成数列的通项，进行求解，也可以看成是等价转化成等比数列的一种解题方法．12．（4分）若对于n个向量，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得，则称为“线性相关”，k1，k2，…，kn分别为的“相关系数”．依此规定，若线性相关，的相关系数分别为k1，k2，k3，则k1：k2：k3=﹣4：2：1．考点：平面向量的综合题；向量的加法及其几何意义；两个变量的线性相关．菁优网版权所有专题：新定义．分析：根据所给的新定义，看出要求的三个向量线性相关，得到关于向量的坐标和相关系数之间的关系式，根据这个关系式等于零向量，写出两个方程，把其中一个相关系数表示另外两个相关系数，求比值即可．解答：解：∵线性相关，根据条件中所给的线性相关的定义得到，∴k1（1，0）+k2（1，﹣1）+k3（2，2）=（0，0），∴k1+k2+2k3=0，①﹣k2+2k3=0②由①②可得，k2=2k3，k1=﹣4k3∴k1：k2：k3=（﹣4k3）：（2k3）：k3=﹣4：2：1菁优网©2010-2014菁优网故答案为：﹣4：2：1点评：本题考查平面向量与线性相关的综合题目，本题解题的关键是理解新定义，能够利用新定义，本题是一个中档题目．二、选择题（每小题3分，满分12分）13．（3分）下列等式正确的是（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：阅读型．分析：根据向量加法、数乘、数量积的意义逐项判断即可．解答：解：两个向量的和或差的结果仍是向量，的结果应为，不是实数0A错实数和向量相乘的结果仍是向量，的结果应为，不是实数0B错由上述分析为正确选项．向量的数量积为实数，的结果应为实数0，不是D错．故选C．点评：本题考查向量加法、数乘、数量积的意义，零向量与实数零的比较．是好题，也是易错题．14．（3分）若等差数列{an}，3a6=a8，且a1＜0，则前n项和Sn取得最小值时的n值为（）A．第9项B．第