2010-2011学年上海市虹口区复兴高级中学高二(上)期中数学试卷

1．（3分）数列1，，，，，，…的一个通项公式为_________．2．（3分）等差数列{an}中，a2=5，a5=14，则通项an=_________．3．（3分）=_________．4．（3分）等差数列{an}中，a1+a4+a7=36，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9=_________．5．（3分）数列{an}中，an=﹣2n2+29n+3，则数列{an}中的最大项的值为_________．6．（3分）等比数列{an}的首项为a1=2，公比q=3，则…=_________．7．（3分）若0＜a＜1，则=_________．10．（3分）等差数列{an}满足，试写出满足上述条件的{an}的一个通项公式_________．11．（3分）等差数列{an}中，a1=﹣20，d=2，前n项和为Sn，若Sn≥c（n∈N*）恒成立，则实数c的最大值为_________．13．（3分）用数学归纳法证明：（n∈N*）时第一步需要证明（）A．B．C．D．15．（3分）已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A．4或5B．5或6C．6或7D．816．（3分）已知{an}是以a（a＞0）为首项以q（﹣1＜q＜0）为公比的等比数列，设，，，，则A、B、C、D中最大的取值为（）A．BB．A与BC．CD．D17．（12分）已知等差数列{an}的公差不为零，若S1，S2，S4成等比数列．（1）求S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，令，求{bn}的前n项和Sn．18．（12分）（2009•湖北）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．19．（14分）甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%、6%的药水各10千克，实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行3n次后，A喷雾器药水成了含有an%的药水，B喷雾器药水成了含有bn%的药水．①证明：an+bn是一个常量②建立an与an﹣1的关系式③按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水．2010-2011学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）数列1，，，，，，…的一个通项公式为．考点：数列的概念及简单表示法．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项的分母为一等比数列加上常数1，分子n+2，由此可得数列的通项公式．解答：解：由已知中数列，，，，，，…可得数列各项的分母为一等比数列{2n}加上常数1，分子n+2，又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为故答案为：．点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．（3分）等差数列{an}中，a2=5，a5=14，则通项an=3n﹣1．考点：等差数列的通项公式．菁优网版权所有专题：计算题．分析：设等差数列{an}的公差为d，然后根据a2=5，a5=14建立方程组，解之即可求出公差，从而求出通项公式．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，则解得a1=2，d=3．所以数列{an}的通项为an=a1+（n﹣1）d=3n﹣1．故答案为：3n﹣1点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，同时考查了基本量的思想，属于基础题．3．（3分）=3．考点：极限及其运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：在的分子分母上同时除以3n可得，代入可求极限解答：解：==3故答案为：3点评：本题主要考查了型极限的求解，解题的关键是在分式的分子分母上同时除以3n，属于基础试题．4．（3分）等差数列{an}中，a1+a4+a7=36，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9=30．考点：等差数列的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由等差数列的性质可得，a1+a4+a7=3a4，a2+a5+a8=3a5，从而可求a4，a5，而a3+a6+a9=3a6，利用等差数列的通项公式可求解答：解：由等差数列的性质可得，a1+a4+a7=3a4=36，a2+a5+a8=3a5=33∴a4=12，a5=11，d=﹣1a3+a6+a9=3a6=3（a5﹣1）=30故答案为：30点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题5．（3分）数列{an}中，an=﹣2n2+29n+3，则数列{an}中的最大项的值为108．考点：数列的函数特性．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用二次函数的最大值和数列的函数特性进行求解，注意题目中的自变量取正整数，求出最大项的值即可．解答：解：an=﹣2n2+29n+3，∴对称轴为=，∵n∈N∴n=7∴a7=108，故数列{an}中的最大项的值为108．故答案为：108．点评：本题主要考查了数列的函数特性，以及利用二次函数研究函数的最值，属于基础题．6．（3分）等比数列{an}的首项为a1=2，公比q=3，则…=．考点：数列的求和．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由题意可得，an=2•3n﹣1，则有是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可求答案．解答：解；由题意可得，an=2•3n﹣1∴，则该数列是以为首项，以为公比的等比数列则…==故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．7．（3分）若0＜a＜1，则=．考点：极限及其运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由0＜a＜1，借助等比数列求和公式把等价转化为，由此能求出其结果．解答：解：∵0＜a＜1，∴==．故答案为：．点评：本题考查数列的极限的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列通项公式的灵活运用．8．（3分）设凸n边形对角线条数为f（n），则凸n+1边形的对角线条数为f（n+1）=f（n）+n﹣1．考点：进行简单的合情推理．菁优网版权所有专题：探究型．分析：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n﹣2个顶点连成的n﹣2条对角线，及原先的一条边成了对角线．解答：解：由n边形到n+1边形，凸n边形变成凸n+1边形，首先是增加一条边和一个顶点，原先的一条边就成了对角线了，则增加上的顶点连接n﹣2条对角线，则n﹣2+1=n﹣1即为增加的对角线，所以凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为凸n边形的对角线加上增加的即f（n+1）=f（n）+n﹣1．故答案n﹣1．点评：考查学生的逻辑推理的能力，对数列的概念及简单表示法的理解．9．（3分）数列{an}，“an+1＞|an|（n=1，2，…）”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有专题：探究型．分析：从两个方面来考虑，由an+1＞|an|（n=1，2，）知{an}所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜an＜an+1，这样前者可以推出后者，反过来，{an}为递增数列，不一定有an+1＞|an|（n=1，2，）．解答：解：由an+1＞|an|（n=1，2，）知{an}所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜an＜an+1，即{an}为递增数列反之，{an}为递增数列，不一定有an+1＞|an|（n=1，2，），如﹣2，﹣1，0，1，2，故答案为充分不必要条件点评：有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．本题是把数列同条件的判断结合在一起．10．（3分）等差数列{an}满足，试写出满足上述条件的{an}的一个通项公式an=4n（答案不唯一，只要公差d=4均可）．考点：等差数列的性质．菁优网版权所有专题：计算题；开放型．分析：把等差数列的求和公式代入可得==，从而可求d，即可解答：解：设等差数列的公差为d，首项为a1∴∴====1∴d=4故答案为：an=4n点评：本题主要考查了数列极限的求解，解题的关键是要准确写出等差数列的求和公式及极限求解中的变形．11．（3分）等差数列{an}中，a1=﹣20，d=2，前n项和为Sn，若Sn≥c（n∈N*）恒成立，则实数c的最大值为﹣110．考点：等差数列的前n项和．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由首项a1和公差d，利用等差数列的求和公式表示出前n项和为Sn，发现其为关于n的二次函数，配方后，根据n为正整数，得到n=10或11时，前n项和为Sn有最小值，并把n=10或11代入函数解析式中求出Sn的最小值，根据不等式恒成立时满足的条件，此时的最小值即为实数c的最大值．解答：解：由a1=﹣20，d=2，得到Sn=na1+d=﹣20n+n（n﹣1）=n2﹣21n=（n﹣）2﹣，当n=10或11时，Sn有最小值，最小值为﹣110，则实数c的最大值为﹣110．故答案为：﹣110点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，二次函数的性质，以及不等式恒成立时的条件，灵活运用二次函数性质是解本题的关键，同时注意自变量n为正整数．12．（3分）在共有2011项的等差数列{an}中，有等式（a1+a3+…+a2011）﹣（a2+a4+…+a2010）=a1006成立．类比上述性质，在共有501项的等比数列{an}中，则有相应的结论：在共有501项的等比数列{an}中，有=a251成立．考点：类比推理．菁优网版权所有专题：探究型．分析：由题意，本题用类比推理由等差数列的性质得到等比数列的性质，其运算关系由加类比乘，由减类比除，故结论易得解答：解：由题意在共有2011项的等差数列{an}中，有等式（a1+a3+…+a2011）﹣（a2+a4+…+a2010）=a1006成立．类比得：在共有501项的等比数列{an}中，有=a251成立故答案为在共有501项的等比数列{an}中，有=a251成立点评：本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，由减类比除，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）用数学归纳法证明：（n∈N*）时第一步需要证明（）A．B．C．D．考点：用数学归纳法证明不等式．菁优网版权所有分析：直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项．解答：解：用数学归纳法证明，第一步应验证不等式为：；故选C．点评：在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．14．（3分）已知{an}是无穷等差数列，若存在，则这样的等差数列{an}（）A．有且只有一个B．可能存在，但不是常数列C．不存在D．存在且不是唯一的考点：等差数列的性质；数列的极限．菁优网版权所有专题：分类讨论．分析：由等差数列的求和公式可得，，分类讨论：①d=0，a1=0②d=0，a1≠0，③d≠0，a1=0④d≠0，a1≠0分别进行求解解答：解：由等差数列的求和公式可得，若d=0，a1=0存在若d=0，a1≠0，=不存在若d≠0，a1=0，=不存在若d≠0，a1≠0，=不存在故选：A点评：本题主要考查了等差数列的求和公式的求解及数列的极限的存在的条件的应用，体现了分类讨论思想的应用．15．（3分）已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A．4或5B．5或6C．6或7D．8考点：等差数列的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由已知中等差数