爱上积分变换

题目：《神奇的矩阵——第二季》(傅里叶变换部分)学校：哈尔滨工程大学姓名：黎文科联系方式：QQ群：53937814联系方式：[e-mail]2前言这篇爱上积分变换是《神奇的矩阵——第二季》中的一部分，是第六章。但是，考虑到积分变换这个内容的重要性，所以单独列出来了。首先必须声明一下，这不全是我写的，只是整理了别人的著作，强烈建议读者阅读参考文献1.当然本文并不是一次简单的复制粘贴，我还加入了自己的理解。记得最开始知道傅里叶这个名字是在高等数学的课本上。当时花了好多时间，问了好多人，都不知道为什么进行积分变换。为此我也困扰了好久。直到后来学习专业课，渐渐的对积分变换有了自己的理解。再加上网上的各种文章，对我的帮助很大。笔者觉得，积分变换大家都学过，没有秘密可言。数学的好经验应该大家共享，我们自己也是这么学来的。作者愿意公开本文的电子文档。文中重要的内容处采用楷体加粗，以示区分。但是这里有一个问题就是最开始提到的版权问题，我只是希望大家有兴趣多交流经验，并不想侵害别人的权利。因此，版权声明如下：（1）读者可以任意拷贝、修改本书的内容。（2）未经作者许可，不得出版或大量印发本文。（3）如果你有好的修改建议，或者也写了一些心得体会，欢迎联系我，与大家共享。由于本人水平有限，错误在所难免，欢迎读者对本文提出批评建议。相信每一次的思考，不管对错，都能对你的理解做出贡献。希望这篇拙作能起到抛砖引玉的作用。——作者2014年12月于哈尔滨6爱上积分变换傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830),Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736-1813)和拉普拉斯(PierreSimondeLaplace,1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。话是这么说没错，可是二者总要存在差异，甚至在跳变沿处，傅里叶逼近会产生Gibbs现象，我们为什么还要进行傅里叶展开或傅里叶变换呢？4首先，我们从信号和系统的物理特征角度来解释。我们知道：大自然中很多现象可以抽象成一个线性时不变系统来研究，无论你用微分方程还是传递函数或者状态空间描述。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。也就是说正弦信号是系统的特征向量！用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波或者其他什么函数来表示的原因在于：正弦信号恰好是很多线性时不变系统的特征向量。于是自然有一个想法：用特征向量来描述一个线性系统！于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统，复指数信号是系统的特征向量。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是同样的道理。傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样，用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。同时，这也解释了为什么我们一碰到信号就想方设法的把它表示成正弦量或者复指数量的形式；解释了为什么方波或者三角波如此“简单”，我们非要展开的如此“麻烦”；解释了为什么对于一个没有什么规律的“非周期”信号，我们都绞尽脑汁的用正弦量展开。就因为正弦量(复指数量)是特征向量。分解的意思就像我们用不同的涂料来调色，一个色调可以分解成不同基色调的组合。如果你已经接受了分解的概念，我们就有必要解释一下为什么时间和频率是两组基？为什么用时间域和频率域来描述这个世界是等价的？首先要弄明白一些概念：什么是时域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时5间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。什么是频域？频域(frequencydomain)是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。频域昀重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中昀重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。好抽象，不懂。那让我们从一个简单的例子开始吧。在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐昀普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：昀上面的图是音乐在时域的样子，而下面的图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。时域频域6再举个实际的例子，击弦乐器——钢琴。琴键被小锤敲击后，产生声音，见下图你可以认为声音是琴键随时间变化的，也可以看成是各种波的叠加。凡有变化的波(交流、频率)才能传递信号，一个一直不变的直流信号是无法传递信息的。这种“交流”是指广义的，普遍的，无论是自然界里蝙蝠探路，人们互相交谈，还是卫星接收信号，都属于交流的范畴。为了传递信号，产生交流，我们需要以“波”作为信号的载体。昀简单的波，就以一定频率传播。蝙蝠发出了超声波，人们说话，声带振动带动了空气疏密波（声波），卫星识别电磁波。这样，我们就有了频率的概念。更进一步，除了手机GHz的波这些经典电磁波，在量子世界里，原子的跃迁也是以一定的频率发生的。我们甚至可以说，自然选择了以这些单频的模式为基础。对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。时域分析与频域分析是对信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（FourierSerie）和傅里叶变换(FourierTransformation)。7鉴于你对积分变换已经深恶痛绝，为了让你对积分变换产生一点好感。我们来看一张图：海绵宝宝的傅里叶变换就是派大星这个图在讨论滤波器的时候很有用，学习通讯或者电子专业的学生对这个图再熟悉不过了，如果你感兴趣可以联系我交流一下。好吧，言归正传。如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：8随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到昀高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。用线性代数的角度来说明这个问题，就是基的数量要足够，数学一点的用语是完备性。如果你接触过小波变换，你就更能体会到这点。不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。9（2012年1月，四位来自麻省理工学院的研究人员提出了一种更快执行傅里叶变换的新算法。这四位研究者(从左至右)分别是PiotrIndyk、DinaKatabi、EricPrice、HaithamHassanieh。傅里叶变换是数字医学成像、Wi-Fi路由器和4G无线通信网络等众多技术的运算基础。）经过上面各种图形的狂轰滥炸，相信你对于傅里叶级数是展开(分解)的概念已经在你的脑海中留下一些痕迹了吧。前面的叠加过程我们发现随着频率越来越高，幅值却越来越小。这是为什么呢？很多书上只是给出数学上的解释。下面，给出一个几何上的解释：10对于一个函数，将其分解成傅里叶级数的时候，对于高频分量，可以看出函数近似成一条直线。于是，积分求和就变成很小的值了。这也是为什么工程中只取前几阶信号而不考虑无穷项的原因。前面花了大量的时间来说明一个方波信号可以由正弦信号组成，也就是一个时域信号可以用频域信号表示。如果你接受了这件事，就好办了，我们将他推广：“任意连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”这就是傅里叶当年的结论。尽管昀初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！本节的核心就是一种信号可以用另一种信号作为基函数线性表示。而由于现实世界中正弦信号是系统的特征向量，所以我们就用傅里叶变换，讲研究的信号在频域展开。总而言之，不管是傅里叶级数，还是傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换，本质上都是线性代数里面讲的求特征值和特征向量。然后将一个复杂问题用特征值和特征向量表示。以后如果有人问你为什么要进行傅里叶变换，你就可以半炫耀半学术的告诉他：“因为复指数信号是线性时不变系统的特征向量，因此傅里叶变换就是进行特征分解”当然还有其他展开，比如小波，道理是一样的。如果感兴趣，强烈推荐《小波与傅里叶分析基础》这本书。11其实写到这里本来就可以了。但是数学家觉得，这种向特征基函数投影的思想奇妙了，于是就将其发展延伸，构造出了其他形式的积分变换。下面就从数学的角度解释一下积分变换的意义。原问题问题的解变换域的问题求解困难变换域的求解求解容易变换逆变换这种解决问题的思路和我们介绍的对角化时的思路是一致的。类似的还有对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换；在积分中的变量代换和积分运算化简；在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换；复变函数的保角变换。当然变换要可以逆。也就是下面介绍的核函数要可逆。从数学的角度理解积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数。也可以理解成是算内积，然后就变成一个函数向另一个函数的投影：()()(,)baFsftKtsdt(,)Kts积分变换的核(Kernel)。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。下表列出常见的变换及其核函数：变换名称核傅里叶(Fourier)变换1(,)2itKte拉普拉斯(Laplace)变换(,)stKtse梅林(Mellin)变换1(,)sKtst汉科