例说三角形中线等分面积的应用

-1-例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD是△ABC的中线，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则S△ABD＝12BD·AE，S△ADC＝12DC·AE，因为BD＝DC，所以S△ABD＝S△ADC。因此，三角形的中线把△ABC分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.分析：因为E、F分别是BC和CD的中点，则连接CG后，可知GF、GE分别是△DGC、△BGC的中线，而由S△ＢＣＦ=S△ＤＣＥ=4ab，可得S△ＢＥＧ=S△ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，问题得解。解：连接CG，由E、F分别是BC和CD的中点，所以S△ＢＣＦ=S△ＤＣＥ=4ab，从而得S△ＢＥＧ=S△ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等且等于31×4ab=12ab，因此S四边形ＡＢＧＤ=ab－4×12ab=32ab。例2、在如图3至图5中，△ABC的面积为a．（1）如图2,延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；图1图2ABCDE图4DEABCF图5图3ABCD-2-（3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图6）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图6），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？分析：从第1个图可以发现AC就是△ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到△ECD的中线DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。解：（1）由CD=BC，可知AC就是△ABD的中线，中线AC将△ABD的分成两个三角形△ABC、△ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S1=a；（2）若连接DA，则DA就是△ECD的中线，中线AD将△ECD分成△CDA、△EDA，它们的面积相等；所以S2=2a；（3）根据以上分析，可知△BFD、△CED、△EAF面积都为2a；所以S2=6a；发现：由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是S△DEF=S3+S△ABC=6a+a=7a；即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍。应用：由以上分析可知扩展一次后S总1=7a，扩展二次后S总2=S总1=72a，扩展三次后S总3=S总2=73a，拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m2）说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。二、巧分三角形例3、如图7，已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个图6DEABCFHMG-3-三角形.分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。解：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BD13BE，则AD、AE把△ABC分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.方法2：在BC边上截取DC31BC，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP、CP，则△PAC、△PAB、△PBC的面积之比为1:2:3（如图9）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？二、巧算式子的值例2在数学活动中，小明为了求2341111122222n的值（结果用n表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求2341111122222n的值.分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的21，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为234111111222222nn，因此2341111111222222nn.说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.图7图8图9图10