2010年大学物理竞赛试题答案及评分标准

2010年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。答：长度（m）2分质量（kg）2分时间（s）2分电流（A）1分热力学温度（K）1分发光强度（cd）1分物质的量（mol）1分二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为450米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。求:（1）火车的速率是多少？(2)对火车上的乘务员来说，他观测到的车站长度是多少？解：（1）2021VLLC4分220714LVCL2分（2）221VLLC2分337.5m2分三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米，在标准状态下，求：（1）舱内空气的质量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为3.0mm，在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm。若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处，设长城宽度5.0米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气76﹪，氧气23﹪，氩气1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为28，32，40）解：标准状态，气化P0=1atm,气温为00c，空气平均mol质量3109.28千克/摩尔。1.内质量：330V910M28.91011.6V22.4（千克）3分2.由气体状态方程可得：RTMV0P2分RTMVP222NNN1分0.78442828.90.76MMPP222NN0Natm0.78440.7844PP0N21分3.依瑞利判据知人眼的最小分辨角为51.222.210radD2分可分辨最小间距：77102.23500005yL(米)1分看不到长城！四、将质量相同、温度分别为T1、T2的两杯水在等压下绝热地混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵变。（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过程并对结论说明理由。（设水的摩尔等压热容量为Cp，每杯水的量为ν摩尔）解：（1）两杯水在等压下绝热的混合，可视为不可逆过程，为了求出两杯水的熵变，可以设想这样一个可逆过程，令两杯水经可逆等压过程，温度分别为T1和T2变为2T21T.设摩尔等压热容量为PC，每杯水为mol。ppdQCndT则:ppdQCdT（3分）总的熵变应等于两杯水熵变之和：对第一杯水熵变：121211T221211Sln2TTTPPTTCdTTTdQCTTT（1分）对第二杯水熵变：121222T221222ln2TTTPPTTCdTTTdQSCTTT（1分）总熵变为：212121212P1212SSClnlnln224PTTTTTTSCTTTT（1分）（2）.由：22121212T2Sln4PTTTCTT212221212T,TTTTT2212121212P1212T222SlnCln044PTTTTTTTCTTTT（2分）即0S。此过程熵增加。（2分）水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。五、在两正交偏振片M、N之间，放置一厚度为0.5mm的石英晶片（ne主=1.5534，no=1.5443），其光轴Z与M、N之间夹角均为450，垂直入射到M的自然光的波长为0.5μm，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1)在偏振片N后能看见多少条等厚干涉条纹？(2)如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm，光轴不变），则在偏振片N后A处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？解：.M的投射光为线偏光，设光强为mI，它振动的方向与晶轴夹角45。，故晶体出射光强：mmeIII2145cos2。mmoIII2145sin2。此时o，e光（在劈背）光程差：2()oednn主o，e光出射后的光强：meeNIII4145cos2。mooNIII4145cos2。eNI与oNI又有附加光程，在N后看劈背出来eNI，oNI的相位差：（2k+1）（k=0，1，2，3….）暗纹2()oednn主（5分）2k（k=0，1，2，3….）明纹若是明纹：3610.5101()(1.55341.5443)9.620.5102eodknn（2分）可看到10条条纹（2）在劈尖的最顶端A处，其d=0mm则：为暗纹（2分）则其光强0I（1分）图1→|a|←NMA六、空气折射率n约为1.0003。用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n的数学表达式。解：实验设计图……………………………………….3七、在光滑水平桌面上，有一长为L质量为m的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端在半径为L的光滑金属圆环上滑动，接触良好。旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R（不影响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场B，当t=0，起始角θ=0处，金属棒获得初角速度为ω0。求：（1）任意时刻t金属棒的角速度ω；（2）金属棒停下来时转过的角度θ=？（其它电阻、摩擦力不计）。解：（1）某时刻大，棒的角速度为，此时，棒切割磁力线获得电动势：21BL2，棒中电流：2BLIR2R2分棒中（r-r+dr）所受安培力为：：dFIBdr，dr所受的磁力矩：MdIBrdr；合力矩：24200124LLBLMdMIBrdrIBLR2分2241)31(0)43dMJJmLdtBLddmLRdtdt由力学转动方程：（转动惯量022222203B40B4B4.........................................2tLtRmdLdtRmdLdtRme分量变量：积分:分223B40000222........................2dt4.........................................23LtRmdddtdtdeRmBL（）分分八、粒子在无限深方势阱[-a/2，a/2]内作一维运动的波函数为axnAncos（n=1,2,3,……）。求：(1)归一化常数A；(2)粒子的零点能；(3)第一激发态，粒子在[a/8，a/2]间出现的几率；(4)粒子运动的坐标不确定度22xxx（x为位移平均值，2x为位移平方的平均值），由不确定关系，估算在基态时相应的动量不确定度p不小于多少？解：（1）由归一化条件：/22/21anadx1分得/2/22222/2/221coscos122aaaanxnaaAxdxAdxAa2/Aa1分所以，归一化的波函数为：2/cos1,2,3nnaxna（2）零点能即基态能，这是1n可由111ˆHE1分即222211122(2/cos)22axEmxama22212228hEmama1分（3）第二激发态2n波函数为222/cosaxa0.5分2228aadx1分228231(2/cos)0.29684aaaxdxa0.5分（4）基态下：/2/2221/2/2(2/cos)0aaaaxxdxxaxdxa1分22/2/22222212/2/22cos122aaaaaaxxdxxxdxaa1分222211()122xxxxa由不确定关系：2xp2226(6)pap不小于2226(6)a1分九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为L，内外半径为a、b，极化强度矢量p=kr/r2(k为常数，介质内部无极化电荷)，相对介电常数为εr、相对磁导率为μr，求：（1）圆筒内外的电场强度E、电位移矢量D分布；（2）若圆筒绕其中心轴以匀角速ω转动，圆筒内外的磁场强度H、磁感应强度B分布。解：极化体电荷密度：'111()()0kDprprrrrrr1分极化面电荷：'0arararakkpnprra0.5分'bkb0.5分圆筒表面单位长度的极化电荷：''212aaak1分''212bbbk0.5分由高斯定理求极化电荷产生附加场'E分布：000()''()20()arakEarbrrrb1分由于00E，故0''EEEE，故介质内外电场分布：00()'()0()rakEEarbrrb0.5分由0DEP，求D分布，介质外0E，0P，故：000()()0()0()rakkDarbrrrb1分筒旋转，内外表面异号极化电荷形成流向相反的载流长直螺线管，单位长度圆筒面荷','ab旋转形成电流密度：'222aajkk1分'222bbjkk1分螺线管内部，HnIj，外部为0，磁场叠加：0,(),()0,()raHkarbrb1分由0BH，求得B的分布：00,(),()0,()rraBkarbrb1分十、质量为m的质点A，在一个光滑且足够大的水平桌面上运动，质点A系一轻绳子，绳子穿过桌面上一光滑小孔O，另一端挂一质量也为m的质点B。若A在桌面上离O点为a的地方，沿垂直于OA的方向以初速度29ga射出，证明质点A在以后运动中离O点距离必aABO图2在a与3a之间。（g为重力加速度）解：当A获得初速度后，离心力大于绳子拉力，有向外运动的趋势，速度的径向分量Vr≠0，当离心力和拉力平衡时，由于惯性仍有向外运动的趋势，但Vr在减小，当达到径向最高处时，Vr=0，A的速度垂直径向，这时的上升速度VB=0，此后开始向内运动趋势，达到最近处。A，B组成质点系，在运动中，A，在水平方向之手绳子拉力作用而B最在竖直方向只受拉力和重力作用，拉里为内力，故系统整过过程角动量守恒，机械能守恒，故初态和A最高点处作为末态来列方程，设A在最高点处速度为V，此时B的速度为0，上升高度设h故角动量守恒：0)(vmhaamAA（1）2分机械能守恒：2202121AABAvmghmvm（2）3分由于mA=mB=m化简：）（4212)3()(2200AAvmghvvhaav由（3）0avvah1分092vga和代入（4）化简324140(2)(47)0hahahhhaha70,2,(4hhaha得舍去）3分ad3d1分十一、现有一质量半径为a的均匀带电圆薄盘，其面电荷密度为σ，求圆盘边缘处的电势大小。（设无穷远处电势为零）解：以圆盘边缘为圆心，以r为半径，dr为宽度，作圆弧。2002U4aprdrr6分2222cosarccos2ararara2分200Uarccos22aprdra2分十二、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的匀质圆盘，圆心O沿水平x轴以速度v0匀速运动，同时圆盘绕其圆心O以匀角速V0Mω0图3ORxω0转动，运动过程中与一静止在x轴上质量也是M的质点相碰，并粘在圆盘的边缘上。求：（1）碰后系统质心速度；（2）碰