2010年高考复习专题篇专题01集合映射简易逻辑与函数

第1页共8页1专题一：集合、映射、简易逻辑与函数考查内容分析：（1）常见初等函数的图像及其性质，其中二次函数及其对数函数更为重要，属中档题；（2）考查函数与方程、不等式、三角、数列、曲线方程、导数（尤其要重视与导数的结合）等知识的交叉渗透及其应用，属中、高档题；（3）考查以函数为模型的实际应用题，让考生从数学角度观察事物、阐释现象，分析解决问题，属中档题；（4）变函数的具体形式为抽象形式，用以考查抽象思维水平，以及将抽象与具体进行相互转化的思维能力，可结合在函数的各种题型中进行考查。本章重点、难点及知识体系1．集合与简易逻辑在中学数学教材中并不是新增内容，在过去的教材中散见于各章知识。而在新教材中将其整合到一起，单独列为一章，置于高中数学教材之首，足见其在数学中的基础地位，是进一步学习近现代数学的必要基础知识。其内容为集合的概念及其运算、逻辑联结词、四种命题及其相互关系、充要条件。本单元内容还初步体现了中学数学中的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归的数学思想。由于其在数学中的基础地位，在复习中不宜深入展开，只要灵活掌握知识点的小型综合即可。2．函数是中学数学的重要内容，像一条红线贯穿在整个中学数学之中，函数这一单元的知识有五个特点：（1）内容的丰富性：“函数”这一单元包括函数的概念和记号，函数的定义域、值域和对应规律，函数的图像，函数的单词性、奇偶性和周期性，反函数、指数函数和对数函数，此外，一次函数、二次函数、反比例函数虽然是在初中所学，但在高中阶段的“函数”一章中完成它的深化过程。（2）强烈的渗透性：函数网络具有强大的渗透和辐射功能，函数与中学数学中的绝大部分内容都有联系，与数列、不等式、解析几何、复数、立体几何等均有着千丝万缕的联系．（3）高度的思想性：“函数”这一章蕴含着中学数学中重要的数学思想，如函数的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、化归思想等。（4）与高等数学衔接的紧密性：函数与极限、微分、积分、概率、统计等数学内容联系非常紧密。（5）知识的应用性：函数知识在日常生活、生产、科学技术及其他学科中有着广泛的应用。对函数及其性质这部分内容的考查，可分横向和纵向两个方面，横向涉及的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数；还有由基本初等函数迭加和复合成的一次分式、二次分第2页共8页2式函数以及复合函数等．纵向即函数的性质：定义(解析式、定义域、值域)、单调性、奇偶性、最值、周期性、对称性等．函数问题几乎涉及中学数学所有数学思想和方法，如数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想和等价转化的思想等．解函数问题用到很多典型的数学方法，如配方法、待定系数法、数学归纳法、消元法、反证法、比较法、代人法等．因此，学好中学数学，提高高考复习效率，函数这部分内容是基础，也是重点．本章重点解决以下四个问题：1．准确地理解函数有关的概念；2．充分揭示函数与其它知识的联系；3．熟练运用函数思想，分类讨论思想和数形结合思想解题；4．深刻认识函数的实质，强化应用意识。上述四个问题同时也是本章的难点。专题一：集合、映射、简易逻辑与函数【经典题例】例1：给出下列四个命题：（1）函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数)10(logaaayxa且的定义域相同：（2）函数y=x3与y=3x的值域相同；（3）函数xxxxyy2)21(121212与都是奇函数；（4）函数y=(x－1)2与y=2x－1在区间),0[上都是增函数.其中正确命题的序号是①③.（把你认为正确的命题序号都填上）小结通过这几种命题的真假判断，进一步增强学生对比学习意识和数形结合思想例2：已知f（x）是偶函数，且f（1）=993，g（x）=f（x—1）是奇函数求f（2005）的值。(993)小结利用抽象形式推理出函数的重要性质（以4为周期）例3：关于x的方程,042baxx（1）对于任意,Ra当且仅当_____b恒有实数解；key：),4[（2）当且仅当_____时恰有两个实数解；key：02,22baa（3）当且仅当_____时由无穷多个实数解；key：4,2ba或4,2ba（4）当且仅当_____时无实数解。Key：22a且02ba小结通过此题分析增强学生的属性结合思想意识，培养灵活机动的思维品质。例4：已知集合01|,2,1mxxBA，若A∪B=A，则符合条件的m的实数值组成的集合第3页共8页3是__________key:}1,0,21{小结在高考应试能力中，，审题是关键，通过此题训练学生思维的严谨性。例5：已知函数112)(axxaxfx.（1）证明：函数)(xf在),1(上为增函数；（2）用反证法证明方程0)(xf没有负数根.[思路分析]证明：设1111,110,1212121xxxxxx）（1131321xx又xaya,1在),1(上是增函数。）（221xxaa，由（1）（2）得1311312122xaxaxx即)(),()(21xfxfxf),1(上是增函数。（反证法）设0)(xf存在负数根，：)0(00xx，则)1,0(12012000000xxaxxxxa1120120000xxxx)2,21(211210000xxxx或，又00x矛盾，所以假设不成立。则0)(xf没有负数根。小结通过（1）的证明让学生在处理函数单调性的证明时，能充分利用几种基本函数的性质直接处理，同时增强应变能力训练，通过（2）的证明使学生增强对反证法这种重要数学思想方法的认识。例6：设)0()1()(2xxxxf.（1）求)(xf的反函数)(1xf；（2）若2x时，不等式)()()1(1xaaxfx恒成立，试求实数a的取值范围.[思路分析]（1）)1(11)(111)1(012xxxfyxxxyxxyx第4页共8页4（2）1)1(1)()()1(221axaxaaxxaaxfx2,2xx，显然01a01当01a时，1ax02当01a时，1axaaa2101，综上所述：211a小结该题考查学生对函数与不等式的结合点的认识与处理能力，培养学生的转化能力及分类讨论思想。例7：高三某班52名学生全部参加绿化美化环境的志愿者行动，这次行动要求完成栽400株花和种200棵树的任务，据经验如果栽花每个学生每小时可以栽3株，如果植树每个学生每小时可以值1棵，现在把这52名学生分成甲乙两组，甲组只栽花，乙组只植树，并且同时开始工作，为了在最短时间内完成这项任务，两组各应安排多少名同学？并论述这种分组的合理性。解：设甲组x人，乙组)52(x人，521x且Nx，据已知，栽花总用时为xxf3400)(1小时，植树总用时为xxf52200)(2小时，这样完成整个任务的时间，应该是)(1xf和)(2xf的较大者，在区间[1，52]上，函数)(1xf为减函数，)(2xf为增函数，为使整体最少，应有|)(1xf)(2xf|最小，不妨先解xx522003400，得8.200x因为8.200x不是整数，所以要比较两函数在8.20临近整数的函数值，当20x时，|)20(1f)20(2f|42.0；当21x时，|)21(1f)21(2f|1.0。因此，甲组为21人，乙组为31人，完成任务时间最短。小结增强应用意识，提高学生学习数学的兴趣例8：已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)=Tf(x)成立．（1）函数f(x)=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=ax(a＞0，且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈M.[思路分析](1)对于非零常数T，f(x＋T)=x＋T，Tf(x)=Tx．因为对任意x∈R，x＋T=Tx不能恒成立，所以f(x)=.Mx(2)因为函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点，第5页共8页5所以方程组：xyayx有解，消去y得ax=x，显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．于是对于f(x)=ax有)()(xTfaTaaaTxfxxTTx故f(x)=ax∈M．小结开放性、探索性问题是当今高考热点问题，通过此题培养学生科学探索精神。【热身冲刺】一、选择题：1．已知集合}|{}2|{2RxxyyBRxyyAx则（D）（A）}4,2{BA（B）}16,4{BA（C）A=B（D）BA2．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（A）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3．已知函数xxxf11lg)(，若baf)(，则)(af（B）（A）b（B）b（C）b1（D）b14．已知函数))((bxaxfy，集合A={))((|),(bxaxfyyx},B={}0|),(xyx，则BA的元素个数为（C）（A）0（B）1（C）0或1（D）1或25．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%(a,b0,a≠b)，则x与y的函数关系式是（B）（A）y=bcacx（B）y=cbacx（C）y=cbcax（D）y=accbx6．已知(2，1)在函数f(x)=bax的图象上，又知f－1)5(=1，则f(x)等于（A）（A）94x（B）73x（C）53x（D）74x7．函数))(1()1(Rxxfyxfy和的图象（C）（A）关于原点对称（B）关于直线x=0对称（C）关于点（1，0）对称（D）关于直线x=1对称8．设函数11)(xxxf的反函数为)(1xf，若)()(1xfxg，则)(xg是（B）（A）),(上增函数（B）)1,(上增函数（C）),1(上减函数（D）)1,(上减函数9．若函数)0(||)(2acxbaxxf的定义域R分成了四个单调区间，则实数第6页共8页6cba,,满足(C)（A）0,042aacb（B）042acb（C）02ab（D）02ab10．已知命题p：若nS是无穷等差数列}{na的前n项和，则点列),{nSn在一条抛物线上，命题q：若实数,1m则01)22(2xmmx的解集是R。又知s是p的逆否命题，r是q的逆命题，那么下列判断正确的是（C）（A）s是假命题，r是真命题（B）s是真命题，r是真命题（C）s是假命题，r是假命题（D）s是真命题，r是假命题二、填空题：11．下列命题（1）}1,1{}1|),){(3(},,1|{)2(},0{22xyxRxxx，},14|{},12|){4(ZkkxxZkkxx},12|{},4|){5(ZkkxxZkkxx中正确的是（1）（3）（5）（把所有错误的序号全填上）12．方程19214xx的解集为{2}13．设A=}2,3,0,3,{，B=}1,21,0,1{，定义xxfcos:是A到B的函数，xxg:是B到A的映射，若2)]([xfg，则x=314．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(xxfxxxxfx),1()1,(三、解答题：15．已知函数2)(,2)(2xxxhxxxg，)()()(xhxgxf与是的积，求：)(xf解析式，并画出其图象；解：)02(2)(),2()()()(2xxxxxfxxxhxgxf且图略16．