2010年高考数学冲刺专题二函数与导数的交汇题

-1-2010年高考冲刺专题复习二:函数与导数一、选择题1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1·x2＝（）A．9B．－9C．1D．－12．函数f(x)＝13x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，则f(1)为（）A．73B．1C．13D．－13．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为（）A．0≤a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜1D．0＜a＜124．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为（）A．(－∞，0)B．(0，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，＋∞)5．函数y＝f(x)在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示.记y＝f(x)的导函数为y＝f(x)，则不等式f(x)≤0的解集为（）A．[－13，1]∪[2，3)B．[－1，12]∪[43，83]C．[－32，12]∪[1，2)D．(－32，－13]∪[12，43]∪[43，3)6．设函数f(x)＝sin(ωx＋6)－1(ω＞0)的导数f(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝9B．x＝6C．x＝3D．x＝27．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是（）A．[0，12]B．(－∞，0)∪[12，＋∞)C．[a，1]D．[a，a＋1]8．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（）A．(2，32)B．(π，2π)-2-C．(32，53)D．(2π，3π)9．下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f(x)的图象，则f(－1)等于（）A．13B．－13C．73D．－13或5311．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f(x)＞0，g(x)＞0，则x＜0时（）A．f(x)＞0，g(x)＞0B．f(x)＞0，g(x)＜0C．f(x)＜0，g(x)＞0D．f(x)＜0，g(x)＜012．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf(x)＞－f(x)恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．af(b)＞bf(a)B．af(a)＞bf(b)C．af(a)＜bf(b)D．af(b)＜bf(a)二、填空题13．右图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f(x)的图象，则当x＝______时，函数取得最小值.14．已知函数f(x)＝13x3－a2x2＋2x＋1，且x1，x2是f(x)的两个极值点，0＜x1＜1＜x2＜3，则a的取值范围_________.15．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1，2]上是减函数，那么b＋c最大值为___________.16．曲线y＝2x4上的点到直线y＝－x－1的距离的最小值为____________.三、解答题17．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.18．已知定义在R上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数.(Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围.-3-19．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x-y+7=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.20．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．21．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。-4-22．已知函数f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的图象在x＝2处的切线互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅱ)设F(x)＝g(x)－f(x)，当x∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，求a的取值范围.【专题训练】参考答案一、选择题1．D【解析】f(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1·x2＝1.2．C【解析】∵f(x)＝x2＋a，又f(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝13－1＋1＝13.3．B【解析】f(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0，1)内有最小值，故a＞0，且f(x)＝0的解为x1＝a，x2＝－a，则a∈(0，1)，∴0＜a＜1.4．B【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴3a×22＋2b×2＝03a＋2b＝－3，即a＝1b＝－3，令f(x)＝3x2－6x＜0，则0＜x＜2，即选B.5．A【解析】由条件f(x)≤0知，选择f(x)图象的下降区间即为解.6．A【解析】f(x)＝ωcos(ωx＋6)，则ω＝3，则由3x＋6＝2kπ＋2，即x＝23kπ＋9(k∈Z)，由此可知x＝9为f(x)的图象的一条对称轴.7．A【解析】f(x)的图象与x轴有A、B、O、C四个交点.其中在A、C处f(x)的值都是由正变负，相应的函数值则由增变减，故f(x)点A、C处应取得极大值；在B处f(x)的值由负变正，相应的函数值则由减变增，故f(x)在点B处应取得极小值.点O处f(x)的值没有正负交替的变化，故不是极值点，这就是说，点B是唯一的极值点.8．C【解析】因为u＝logax(0＜a＜1)在（0，＋∞）上是减函数，根据函数的单调性的复合规律得0≤logax≤12，即a≤a≤1，故选C.8．B【解析】y＝(cosx－xsinx)＝－xsinx，令－xsinx＞0，则xsinx＜0，各选项中x均为正，只须sinx＜0，故x∈(π，2π).9．B【解析】∵f(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，又a≠0，∴f′(x)的图象为第三个，知f(0)-5-＝0，故a＝－1，f(－1)＝－13＋a＋1＝－13.11．B【解析】依题意得f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，即当x＜0时，f(x)＞0；g(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是减函数，即当x＜0时，g(x)＜0.12．B【解析】令F(x)＝xf(x)，则F(x)＝xf(x)＋f(x)，由xf(x)＞－f(x)，得xf(x)＋f(x)＞0，即则F(x)＞0，所以f(x)在R上为递增函数.因为a＞b，所以af(a)＞bf(b).二、填空题13．4【解析】根据导函数对应方程f(x)＝0的根与极值的关系及极值的定义易得结果.14．3＜a＜113【解析】f(x)＝x2＋ax＋2，由题知：f(1)＝1－ax＋2＜0f(3)＝9－3a＋2＞0，解得3＜a＜113.15．－152【解析】f(x)＝3x2＋2bx＋c∵f(x)在[－1，2]上减，∴f(x)在[－1，2]上非正.由f(－1)≤0f(2)≤0，即3－2b＋c≤012＋4b＋c≤0，∴15＋2(b＋c)≤0，∴b＋c≤－152.16．5162【解析】设直线L平行于直线y＝－x－1，且与曲线y＝2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线y＝－x－1的距离，y＝8x3＝－1，∴x0＝－12，x0＝18，∴d＝|－12＋18＋1|2＝5162.三、解答题17．【解】由已知得f(x)＝6x[x－(a－1)]，令f(x)＝0，解得x1＝0,x2＝a－1，.（Ⅰ）当a＝1时，f(x)＝6x2，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增当a＞1时，f(x)＝6x[x－(a－1)]，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞,0)0(0,a－1)a－1(a－1,＋∞)f(x)＋00f(x)↗极大值↘极小值↗从上表可知，函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝1时，函数f(x)没有极值.；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.18．【解】(Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f(1)＝0，∴a＝2；(Ⅱ)①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间（－1，0）上是增函数，∴a＝0符合题意；②当a≠0时，f(x)＝3ax(x－2a)，由f(x)＝0，得x＝0，x＝2a当a＞0时，对任意x∈(－1，0)，f(x)＞0，∴a＞0符合题意；当a＜0时，当x∈(2a，0)时，由f(x)＞0，得2a≤－1，∴－2≤a＜0符合题意；综上所述，a≥－2.19．【解】（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d＝2，则f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f(x)＝3x2＋2bx+c，-6-由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f(-1)=6，∴3-2b+c=6-1+b-c+2=1，即2b-c=3b-c=0，解得b=c=-3，故所求的解析式是f(x)＝x3-3x2-3x+2.（Ⅱ）f(x)＝3x2-6x-3，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0，解得x1=1-2，x2=1+2，当x＜1-2或x＞1+2时，f(x)＞0；当1-2＜x＜1+2时，f(x)＜0，故f(x)＝x3-3x2-3x+2在(-∞，1-2)内是增函数，在(1-2，1+2)内是减函数，在(1+2，+∞)内是增函数.20．【解】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(1)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．21．【解】（I）∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R).（II）方程f(x)＋37x＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0，设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，当x∈(0，103)时，h(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(103，＋∞)时，h(x)＞0，h(x)是增函数，∵h(3)＝1＞0，h(103)＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间(3，103)、(103，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在惟一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根.22．解析：(