2010年高考数学热点原创函数对称与周期有关结论及证明

函数对称与周期有关结论及证明函数对称与周期有关结论及证明简介：一、对称问题：问题1:一个函数f(x)的图象关于x=a对称（自对称）；问题2:两个函数的图象关于x=a对称（互对称）问题3:一个函数f(x)的图象关于点(a,0)对称（自对称）问题4:两个函数的图象关于点(a,0)对称（互对称）二、周期与对称1.一个奇函数或一个偶函数，有一个对称轴x=a,则必为周期函数且T=2a2.一个函数有两个对称轴x=a与x=b,则必为周期函数3.一个函数有一个对称轴x=a与一个对称点(b,0),则必为周期函数4.一个函数f(x)有两个对称点(a,0)与(b,0),则必为周期函数一、对称问题问题1:一个函数f(x)的图象关于x=a对称f(a-x)=f(a+x)f(x)的图象关于x=a对称f(x)=f(2a-x)f(x)的图象关于x=a对称一般地若f(a-x)=f(b+x)则函数f(x)关于x=2ba对称结论:关于x=”等式两端括号内相加除以2”对称.注意:f(a-x)=f(a+x)则函数f(a+x)关于谁对称?(y轴)问题2:两个函数的图象关于x=a对称(并非f(x))(1)y=f(x+b)y=fbxa)2(关于x=a对称(2)b=0时y=f(x)y=f(2a-x)关于x=a对称(3)a=0时y=f(b+x)y=f(b-x)关于x=0对称a=0b=a时y=f(a+x)y=f(a-x)关于x=0对称(4)b=-a时y=f(x-a)y=f(a-x)关于x=a对称一般地:y=f(a+x)与y=f(b-x)则二函数的图象关于x=2ab对称结论:关于x=”等式两端括号内-x对应的常数项减去+x对应的常数项除以2”对称问题（1）的证明：证法一设p(x0,y0)是y=f(x+b)人任意一点,则y0=f(x0+b)，p(x0,y0)关于x=a对称点为p1(2a-x0,y0),f((2a-(2a-x0)+b)=f(x0+b=y0,p1(2a-x0,y0)在y=fbxa)2(上.同理可证y=fbxa)2(上任意一点关于x=a对称点在y=f(x+b)上.法二:设p(x,y)是y=f(x+b)关于x=a对称图形任意一点,则p(x,y)关于x=a对称点p(2a-x,y)在y=f(x+b)上,y=f(2a-x+b)y=f(x+b)与y=f(2a-x+b)的图像关于x=a对称问题3:一个函数f(x)的图象关于点(a,0)对称f(a-x)=-f(a+x)f(x)的图象关于点(a,0)对称f(x)=-f(2a-x)f(x)的图象关于点(a,0)对称一般地若f(a-x)=-f(b+x)则函数f(x)关于点(2ba,0)对称结论:关于点(等式两端括号内相加除以2,0)对称.注意:f(a-x)=-f(a+x)则函数f(a+x)关于谁对称?(原点)问题4:两个函数的图象关于点(a,0)对称(并非f(x))(1)y=f(x+b)y=-fbxa)2(关于点(a,0)对称(2)b=0时y=f(x)y=-f(2a-x)关于点(a,0)对称(3)a=0时y=f(b+x)y=-f(b-x)关于点(0,0)对称a=0b=a时y=f(a+x)y=-f(a-x)关于(0,0)对称(4)b=-a时y=f(x-a)y=-f(a-x)关于点(a,0)对称一般地:y=f(a+x)与y=f(b-x)则二函数的图象关于(2ab,0)对称结论:关于点(两括号内-x对应的常数项减去+x对应的常数项除以2,0)对称二、周期与对称1.一个奇函数或一个偶函数，有一个对称轴x=a,则必为周期函数且T=2a证:)2()()()(xafxfxfxff(-x)=f(2a-x)f(x)=f(2a+x)T=2a)2()()()(xafxfxfxf)2()()()(xafxfxfxff(x)=-f(2a+x)=f(4a+x)T=4a2.一个函数有两个对称轴x=a与x=b,则必为周期函数证:)2()()2()(xbfxfxafxff(2a-x)=f(2b-x)x用2a-x代换得f(x)=f(2b-2a+x)T=2ab3.一个函数有一个对称轴x=a与一个对称点(b,0),则必为周期函数证:)2()()2()(xbfxfxafxff(2a-x)=-f(2b-x)x用2a-x代换得f(x)=-f(2b-2a+x)=f(4b-4a+x)T=4ab4.一个函数f(x)有两个对称点(a,0)与(b,0),则必为周期函数证:)2()()2()(xbfxfxafxff(2a-x)=f(2b-x)x用2a-x代换得,f(x)=f(2b-2a+x)T=2ab