2010数列求和高考题及答案

2010数列求和1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知na是首项为1的等比数列，ns是na的前n项和，且369ss，则数列1na的前5项和为()（A）158或5（B）3116或5（C）3116（D）158【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式．【思路点拨】求出数列{}na的通项公式是关键．【规范解答】选C．设1nnaq，则36361199(1)111qqqqqq，即33918,2qqq，11112()2nnnnaa，5511()31211612T．2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比2q，Sn为{an}的前n项和．记*2117,.nnnnSSTnNa设0nT为数列{nT}的最大项，则0n=．【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识．【思路点拨】化简nT利用均值不等式求最值．【规范解答】,)2(,21])2(1[,21])2(1[112121nnnnnnaaaSaS∴],17)2()2(16[211)2(21])2(1[21])2(1[171211nnnnnnaaaT∵,8)2()2(16nn当且仅当16)2(2n即216n，所以当n=4，即04n时，4T最大．【答案】43.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,,naaa中的每一项都不为0．证明：na为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有1223111111nnnnaaaaaaaa．【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力．【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，可采用数学归纳法或综合法．【规范解答】已知数列na中的每一项都不为0，先证若数列na为等差数列，设公差为d，当0d时，有111111()nnnnaadaa，12231111nnaaaaaa122311111111[()()()]nndaaaaaa111111111111[()]nnnnaandaadaaaa即对任何nN，有12231111nnaaaaaa11nnaa成立；当0d时，显然12231111nnaaaaaa11nnaa也成立．再证对任意nN，有12231111nnaaaaaa11nnaa①，12231121111nnnnaaaaaaaa121nnaa②，由②-①得：121nnaa121nnaa-11nnaa上式两端同乘112nnaaa，得112(1)nnanana③，同理可得11(1)nnanana④，由③-④得：122nnnaaa，所以na为等差数列【方法技巧】1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等，转化为常见的类型进行求和；2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为n1或n1得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.4.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（1）求na及nS；（2）令nb211na(nN*)，求数列nb的前n项和nT．【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求na及nS；(2)由(1)求出nb的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】（1）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n.（2）由（1）知2n+1na，所以bn=211na=21=2n+1)1（114n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+++-)4223nn+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前n项和nT=n4(n+1).【方法技巧】数列求和的常用方法：1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比1q的讨论.2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).5.（2010·安徽高考文科·Ｔ21）设12,,,,nCCC是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线33yx相切，对每一个正整数n,圆nC都与圆1nC相互外切，以nr表示nC的半径，已知{}nr为递增数列.(1)证明：{}nr为等比数列；（2）设11r，求数列{}nnr的前n项和.【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力．【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设nC的圆心为(,0)n，得2nnr，同理得112nnr，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}nr中1nr与nr的关系，可证明{}nr为等比数列；（2）利用（1）的结论求{}nr的通项公式，代入数列nnr，然后采用错位相减法求和.【规范解答】331,sin,332x（1）将直线y=的倾斜角记为,则有tan=nnnnnnr1sin2r,2C设的圆心为（，0），则由题意得知，得n+1n+12r同理，又n+1nnn+1rrnnn+1n+1n+1n2r2rr3r将和，代入上式解得，nrq3故为公比的等比数列。n11nnnnnr1q3r3n3r（）由于，，故，从而，n1212.....,rrrnn记S则有121n121n12333......31323......(1)333nnnnnnSS121n1333133...333()3,23223nnnnnnnn①②,得2S119139(23)3()34224nnnnSn．【方法技巧】1、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为n1或n1得到相关的式子，再进行化简变形处理；2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等，转化为常见的类型进行求和．6.（2010·江苏高考·Ｔ１9）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，已知3122aaa，数列nS是公差为d的等差数列．（1）求数列na的通项公式（用dn,表示）；（2）设c为实数，对满足nmknm且3的任意正整数knm,,，不等式knmcSSS都成立。求证：c的最大值为29．【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．【思路点拨】（1）先求nS，然后利用nnaS与的关系求解；（2）利用（1）中所求nS利用基本不等式解决．【规范解答】（1）由题意知：0d，11(1)(1)nSSndand21323213233()aaaaSSSS，21121)2(])[(3daada化简，得：22111120,,aaddadad22(1),nnSdndndSnd，当2n时，222221(1)(21)nnnaSSndndnd，适合1n情形．故所求2(21)nand．（2）（方法一）222222222mnkSScSmdndckdmnck，222mnck恒成立．又nmknm且3，222222292()()92mnmnmnkk，故92c，即c的最大值为29．（方法二）由1ad及1(1)nSand，得0d，22nSnd．于是，对满足题设的knm,,，mn，有2222222()99()222mnkmnSSmndddkS．所以c的最大值max92c．另一方面，任取实数92a．设k为偶数，令331,122mknk，则knm,,符合条件，且22222222331()[(1)(1)](94)222mnSSmnddkkdk．于是，只要22942kak，即当229ka时，22122mnkSSdakaS．所以满足条件的92c，从而max92c．因此c的最大值为92．7.（2010·天津高考文科·Ｔ22）在数列na中，1a=0，且对任意k*N，2k12k2k+1a,a,a成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明456a,a,a成等比数列；（Ⅱ）求数列na的通项公式；（Ⅲ）记2222323nnnTaaa，证明n32nT2n2（2）.【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ）应用定义法证明、求解；（Ⅲ）对n分奇数、偶数进行讨论．【规范解答】（I）由题设可知，2122aa，3224aa，4348aa，54412aa，65618aa。从而655432aaaa，所以4a，5a，6a成等比数列．（II）由题设可得21214,*kkaakkN所以2112121212331...kkkkkaaaaaaaa441...41kk21,*kkkN.由10a，得2121kakk，从而222122kkaakk.所以数列na的通项公式为221,2,2nnnann为奇数为偶数或写为21124nnna，*nN．（III）由（II）可知2121kakk，222kak，以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m*mN若1m，则2222nkkkna，若2m，则22222112211112212214441221nmmmmkkkkkkkkkkkkkkaaakkk21111441111222212121mmkkkkmmkkkkkk11312211222mmnmn.所以223122nkkknan，从而22322,4,6,8,....2nkkknna（２）当n为奇数时，设21*nmmN．22222222121213142221nmkkkkmmmkkmaaammm11314222121mnmn所以2231221nkkknan，从而22322,3,5,7,....2nkkknna综合（1）和（2）可知，对任意2,*,nnN有322.2nnT