2010数学分析考研真题答案

第1页（共5页）2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码：636考试科目名称：数学分析一、（12分）按数列极限定义证明：32lim01nnn.证明：32221nnn————4分任给0,要321nn,只要22n,即只要2n.————10分取2N,则当nN时,321nn,所以,32lim01nnn.————12分二、（14分）若()fx在点0x连续，证明2()fx也在点0x连续.证明：设()fx在点0x连续,则001,0,xx,0()()fxfx,————4分同时0000()()()()2()12()fxfxfxfxfxfx,————8分于是2200()()12()fxfxfx.————12分所以2()fx在点0x连续.————14分三、（14分）证明()(0)fxaxba在(,)上一致连续.证明：,,xx,()()fxfxaxx,————4分0,取a,当xx时,就有()()fxfx,————12分所以()(0)fxaxba在(,)上一致连续.————14分四、（16分）设()fx在[0,1]上可导且导函数连续.证明：10lim()(1)nnnxfxdxf.第2页（共5页）证明：由于()fx在[0,1]上连续,因此存在01max()xMfx————2分111110001()()()11nnnxxfxdxfxxfxdxnn11011()()11nfxxfxdxnn,————8分又因111100()02nnMxfxdxMxdxn,————12分所以11100lim()lim(1)()(1)1nnnnnnxfxdxfxfxdxfn————16分五、（16分）证明级数1sinnnxn在区间(0,)内条件收敛.证明：2sinsin1cos21cos2222nxnxnxnxnnnnn,————4分由于数列12n单调趋于零,且部分和数列1cos2nkkx有界,由Dirichlet判别法知,1cos22nnxn收敛,————10分又112nn发散,所以级数1sinnnxn在区间(0,)内发散————13分原级数收敛性显然,因此原级数在区间(0,)内条件收敛.————16分六、（14分）证明函数序列()(1)nnsxxx在[0,1]上一致收敛.证明：()nsx在[0,1]上收敛于()0sx，由()()1nnsxsxxx,————5分及1(1)1nnxxxnnx,易知()()nsxsx在1nxn取到最大值，从而————10分第3页（共5页）11,1100111nnnnndssnnnnn.所以,函数序列()(1)nnsxxx在[0,1]上一致收敛.————14分七、（16分）通过自变量变换11uxyvxy,变换方程222222222()0zzzxxyyxxyy.解：2211,,zzzzzzxuxvyuyv————3分2222222423212,zzzzzxuxuvxvxv————6分2222222423212,zzzzzyuyuvyvyv————9分2222222222111zzzzxyuxyuvxyv,————12分代入原方程,得2222221120,xyzzxyuvxyv注意到11,xyuvxyxyxy即uxyv,于是就有22222222222114xyxyxyxyxyxyxyxy2244uvuuvuvv.从而得变换后的方程224zzuvuuvv.————16分第4页（共5页）八、（16分）计算,Lydxzdyxdz其中L为曲线2222,(0)xyzazxzaa若从z轴的正向看去，L的方向为逆时针方向.解：设是L所围的平面0xzaa的部分，方向由右手法则确定（即取上侧）.上任一点的单位法向量11cos,cos,cos,0,22,————6分由Stokes公式,coscoscosLydxzdyxdzdSxyzyzx————13分222dSa.————16分九、（16分）设D是两条直线yx,4yx和两条双曲线1xy,4xy所围成的区域,()Fu是具有连续导数的一元函数,记()()fuFu.证明41()ln2()DFxydyfuduy,其中D的方向为逆时针方向.证明：由Green公式,得()DDFxydyfxydxdyy————4分作变换,yuxyvx,则此变换将区域D变为,14,14uvDuvuv————9分变换的Jacobi行列式为,1,2xyJuvv,于是————11分()2uvDDDfuFxydyfxydxdydudvyv4441111ln22fududvfuduv第5页（共5页）所以41()ln2()DFxydyfuduy.————16分十、（16分）证明含参变量积分20cos2tIextdt满足方程20dIxIdx.证明：记2,cos2tfxtext，则2,2sin2txfxttext.这时有————2分22,2sin22,,0ttxfxttexttext,而反常积分20tItedt收敛,由Weierstrass判别法,200,2sin2txfxtdxtextdt关于x在,上一致收敛.应用积分号下求导定理,得到————8分2220002sin2sin22cos2tttdItextdtextxextdtdx2xI.————14分所以20dIxIdx.————16分