2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组23223yxayx的解是一对异号的数，则a的取值范围是（）（A）334a（B）34a（C）3a（D）343aa或2．一块含有30AB＝8cm,里面空心DEF的各边与ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF的周长是（）(A)5cm(B)6cm(C)cm)(36(D)cm)(333．将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有()(A)5种(B)6种(C)7种(D)8种4．作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是1122)x(y，则抛物线A所对应的函数表达式是()(A)2322)x(y(B)2322)x(y(C)2122)x(y(D)2322)x(y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是()(A)32(B)31(C)21(D)616．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k次依次移动k个顶点。如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D。依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是()(A)C,E,F(B)C,E,G(C)C,E(D)E,F.7．一元二次方程)a(cbxax002中，若b,a都是偶数，C是奇数，则这个方程()(A)有整数根(B)没有整数根(C)没有有理数根(D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由54个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是()(A)16(B)32(C)48(D)64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11．ABC中，c,b,a分别是C,B,A的对边，已知232310C,b,a，则CsincBsinb的值是等于。12．设直线1kkxy和直线kx)k(y1(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为ks，则2006321s...sss的值是。13．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为。14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为21:的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是。三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）15．(12分)已知c,b,a都是整数，且42ba,012cab,求cba的值。16.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A，B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。某日王老板进货A款式服装35件，B款式服装25件。怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？17.如图所示，⊙O沿着凸n边形A1A2A3…An-1An的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置。（1）当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明⊙O自身转动了两圈；（2）当⊙O的周长是，凸n边形的周长是时，请写明此时⊙O自身转动的圈数。18.已知二次函数1122mx)m(xy。（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；（2）如果直线1xy经过二次函数1122mx)m(xy图象的顶点P，求此时m的值。2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题参考答案一、选择题1．答案D解：解方程组，得526,543ayax要使方程组的解是一对异号的数，只需334026043026043aaaaaa或即或2．答案B解：连结BE，分别过E，F作AC的平行线BC于点M和N，则EM=1，BM=3，MN=33134∴小三角形的周长是MN+2MN+3MN=6cm3．答案C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种4．答案：D解：将抛物线C再变回到抛物线A：即将抛物线y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2(x-1)2-2，而抛物线y=2(x-1)2-2关于x轴对称的抛物线是y=-2(x-1)2+25．答案：A解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是32646．答案：A解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=)1(21kk，应停在第pkk7)1(21格，这是P是整数，且使0≤pkk7)1(21≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，pkk7)1(21=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7k≤10，设k=7+t(t=1,2,3)代入可得，)1(2177)1(21ttmpkk，由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到。7．答案B解：假设有整数根，不妨设它的根是2k或2k+1（k为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A；若a，b，c分别取4，8，3则排除C，D8．答案C解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2小方格图形共有12个，故画出不同位置的L形图形案个数是12×4=48二、填空题9．答案：512解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高（设为h），则5h=3×4,512h10．答案：35%或65%（答对一个给3分）解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35%或65%11．答案：10解：不难验证，a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形，其中a是斜边。bsinB+csinC=10222aaaabcaccabb12．答案：20071003解：方程组11)1(1yxkxkykkxy的解为直线的交点是（-1，-1）直线0,1)1(,1kkxkxkykkxy轴的交点分别是与、11121111210,1kkkkkk　　　Skkk，所以200712006141313121211212006321SSSS200710032007112113．答案：22解：连结DM并延长交EF于N，则△ADM≌△ENM，∴FN=1，则FM是等腰直角△DFN的底边上的高，所以FM=2214．答案：463解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得3343532222;222nynxnynxnyxnxxnyxnxx或解得或∵35322nn（此时不能构成三角形，舍去）∴取334nynx其中n是3的倍数三角形的面积222236633663634321nS　　nnnnS对于当n≥0时，S△随着n的增大而增大，故当n=3时，3663S取最小三、解答题15．解：将a=4+2b代入ab+c2-1=0，得2b2+4b+c2-1=0，∴22622cb∵b，c都是整数，∴只能取12,12,10,1044332211cbcbcbcb相对应a1=4,a2=4,a3=0,a4=0故所求a+b+c的值有4个：5，3，-1，-316．解：设分配给甲店铺A款式服装x件（x取整数，且5≤x≤30），则分配给甲店铺B款装（30-x）件，分配给乙店铺A款服装（35-x）件，分配给乙店铺B款式服装[25-(30-x)]=(x-5)件，总毛利润（设为y总）为：Y总=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965乙店铺的毛利润（设为y乙）应满足：Y乙=27(35-x)+36(x-5)≥950，得x≥9520对于y总=-x+1965,y随着x的增大而减小，要使y总最大，x必须取最小值，又x≥9520,故取x=21，即分配给甲店铺A、B两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A，B两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大，最大的总毛利润为y总最大=－21+1965=1944（元）17．解（1）一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周长），因此若不考虑⊙O滚动经过n个顶点的情况，则⊙O自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙O在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角。如图所示，设∠A2A1An为钝角，已知AnA1是⊙O的切线，⊙O滚动经过端点A1后到⊙O’的位置，此时A1A2是⊙O’的切线，因此OAAnA1，O’A1A1A2，当⊙O转动至⊙O’时，则∠γ就是⊙O自身转动的角。∵∠γ+∠β=90°，∠α+∠β=90°，∴∠γ+∠α，即⊙O滚动经过顶点A1自身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角。对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证（注：只证明直角的情况）∵凸n边形的外角和为360°∴⊙O滚动经过n个顶点自身又转动一圈∴⊙O自身转动的圈数是)1(ab圈18．解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y=(x+m+1)2-m2-3m，顶点坐标是P（-m-1,-m2-3m）方法一：分别取m=0,-1,1，得到三个顶点坐标是P1(-1,0)、P2(0,2)、P3(-2,-4)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2将顶点坐标P(-m-1,-m2-3m)代入y=-x2+x+2的左右两边，左边=-m2-3m,右边=-(-m-1)2+(-m-1)+2=-m2-3m，∴左边=右边，即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=-x2+x+2上，即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2（注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分）方法二：令-m-1=x，将m=-x-1代入-m2-3m，得-(-x-1)2-3(-x-1)=-x2+x+2即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2上（2）如果顶点P(-m-1,-m2-3m)在直线y=x+1上，则-m2-3m=-m-1+1，即m2=-2m∴m=0或m=-2∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m