张禾瑞高等代数第八章课件

第八章欧氏空间8.1向量的内积8.2正交基8.3正交变换8.4对称变换和对称矩阵课外学习9：实现正交化过程的新方法惠州学院数学系在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国王设置的捷径。---欧几里德(Euclid,约前325-约前265)惠州学院数学系8.1向量的内积一、内容分布8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质二、教学目的：1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离．2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与η的内积ξ,η，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．3．掌握,,,2及其它不等式，并会用它来证明另三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;2.不等式,,,2的灵活运用.一些不等式惠州学院数学系8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义1),,2),,,3),,aa00,4)当时,定义1设V是实数域R上一个向量空间.如果对于V中任意一对向量有一个确定的记作,的实数与它们对应，并且下列条件被满足：,这里,,是V的任意向量，a是任意实数，,那么这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于惠州学院数学系nR),,...,,(21nxxx),...,,(21nyyynnyxyxyx...,2211例1在规定里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而nR对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.nR),,...,,(21nxxx),...,,(21nyyynnyxyxyx...,2211例2在规定里,对于任意向量不难验证,也作成一个欧氏空间.nR惠州学院数学系例3令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数],[)(),(baCxgxf我们规定所成的向量空间,.)()(,dxxgxfgfba根据定积分的基本性质可知,内积的公理1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.例4令H是一切平方和收敛的实数列),,...,,(21nxxx12nnx所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法:惠州学院数学系设.),,,(,...),,(2121Rayyxx,...);,(2211yxyx,...),(21axaxa规定1,nnnyx向量的内积由公式给出，那么H是一个欧氏空间.),,(,...),,(2121yyxx),(),,(2121bbaa2R2211,bnabma练习1为向量空间中任意两向量,证明:对作成欧氏空间的充分必要条件是m0,n0.惠州学院数学系8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角,,,定义2设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号表示：定理8.1.1在一个欧氏空间里,对于任意向量.,有不等式,,,2(6)当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.惠州学院数学系定义3设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量，ξ与η的夹角θ由以下公式定义：,cos例5令nR是例1中的欧氏空间.中向量),...,,(21nxxx的长度是22221...,nxxx由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ和任意实数a,有nR惠州学院数学系注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.例6考虑例1的欧式空间nR由不等式(6)推出,对于任意实数nnbbbaaa,,,,,,2121有不等式2121211)()()(nnnnbbaababa(7)(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.aaaaa,,2惠州学院数学系例7考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6）推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数),(),(xgxf有不等式.)()()()(22bababadxxdxxdxxgxfgf(8)(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一起来.因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.惠州学院数学系例8设,为欧氏空间V中任意两个(1))0(aa当且仅当的夹角为0;非零向量.证明:,(2))0(aa当且仅当的夹角为π;,惠州学院数学系8.1.3向量的正交定义4欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,,0如果定理8.1.2在一个欧氏空间里，如果向量ξr,,,21中每一个正交，那么ξ与的任意一个线性组合也正交.r,,,21与惠州学院数学系思考题1：设,是n维欧氏空间V中,1||||证明:.1,两个不同的向量,且思考题2：在欧氏空间nR中,设),,2,1)(,,,(21niaaainiii两两正交,且i的长度nnijiaAi)(,||求A的行列式||A的值.惠州学院数学系8.2正交基一、内容分布8.2.1正交组的定义、性质8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性8.2.3子空间的正交补8.2.4正交矩阵的概念8.2.5n维欧氏空间同构的概念及判别二、教学目的：1．准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质．2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补．4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系．5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论．三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念;子空间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法惠州学院数学系8.2.1正交组的定义、性质定义1欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.1．正交组的定义例1向量,21,0,21,0,1,02121,0,213构成3R一个标准正交组，因为,1321.0,,,133221惠州学院数学系]2,0[]2,0[C例2考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间（参看8.1例3），函数组的一个正交组。(1)1，cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…构成上一切连续]2,0[C惠州学院数学系20,21dx20,,,,0sinsinnmnmnxdxmx若若,,0,,coscos20nmnmnxdxmx若若事实上，我们有惠州学院数学系222000cossincossin01,12,cos,cossin,sin,1,cos1,sin0,cos,cossin,sinmxnxdxnxdxnxdxnxnxnxnxnxnxmxnxmxnx所以,,0sin,cosnmnxmx若把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C[0，2π]的一个标准正交组,...sin1,cos1,...,sin1,cos1,21nxnxxx惠州学院数学系2．正交组的性质定理8.2.1设},,,{21n一个正交组，那么n,,,21线性无关.是欧氏空间的证：设有Raaan,,,21使得02211nnaaa因为当i≠j时0,ji，所以但0,ii，所以,,,2,1nai即n,,,21线性无关.iiinjjijnjjjiiaaa,,,0,011惠州学院数学系8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性1．标准正交基的定义设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n,,,21n个向量构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n个向量构成V的一个基，叫做V的一个正交基。如果V的一个正交基还是一个规范正交级，那么就称这个基是一个规范的正交基。惠州学院数学系例2欧氏空间nR的基是),0,,0,1,0,,0()(iii=1,2,…,n,nR的一个标准正交基.如果},,,{21n正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可.2211nnxxx是是n维欧氏空间V的一个标准以唯一写成nxxx,,,21是ξ关于},,,{21n的坐标。由于},,,{21n是规范正交基，我们有惠州学院数学系（3）injijjixx1,,这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积；nnyyy2211其次，令那么（4）nnyxyxyx2211,由此得（5）22221,||nxxx（6）2211)()(),(nnyxyx惠州学院数学系2．标准正交基的性质设},{21是2V的一个基，但不一定是正交基},,{21问题就解决了,因为将21和再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交.11借助几何直观，为了求出正交基。从这个基出发，只要能得出2V的一个基。先取,2我们考虑线性组合,12a从这里决定实数a，使112与a正交，由1112112,,,0aa惠州学院数学系及得011112,,a取1111222,,那么,0,12又因为21,线性无关，所以对于任意实数a,01212aa因而,02这就得到2V的一个正交基}.,{21惠州学院数学系3．标准正交基的存在性定理8.2.2（施密特正交化方法)设},,,{21n是欧氏空间V的一组线性无关的向量,那么可以求},,,,{21n使得k可以由k,,,21线性表示，k=1,2,…,m.出V的一个正交组证先取,11那么2是1的线性组合，且.01其次取1111222,,惠州学院数学系又由0,,,,,1111121212所以12与正交。假设1＜k≤m，而满足定理要求的121,,,k都已作出.那么是221,的线性组合，并且因为线性无关，所以.0221,惠州学院数学系11111111,,,,kkkkkkkk取.112211kkkkaaa所以k是k,,,21的线性组合。由于假定了ii,,,21是i=1,2,…,k-1，所以把这些线性组合代入上式，得的线性组合，k,,,21线性无关，由,0k得惠州学院数学系又因为假定了121,,,k两两正交。这样，k,,,21也满足定理的要求。1,,2,1,0,,,,,kiiiiiikikik所以定理得证。惠州学院数学系定理8.2.3任意n（n0）维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.例4在欧氏空间3R中对基)3,0,2(),2,1,0(),1,1,1(321施行正交化方法得出3R的一个标准正交基.31,31,31||111解:第一步，取惠州学院数学系第二步，先取)1,0,1(31,31,313)2,1,0(,,,11221111222