2007年江苏省高中数学联赛初赛(含答案)

12007年江苏省高中数学联赛初赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数y＝sin2x，则（）.（A）有最小正周期为2π（B）有最小正周期为π（C）有最小正周期为π2（D）无最小正周期解：y＝sin2x＝12(1－cos2x)，则最小正周期T＝π.故选（B）．2．关于x的不等式x2－ax－20a2＜0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是（）．（A）2（B）1（C）0（D）－1解：方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2＜0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1.故选（C）．3.已知向量a、b，设→AB＝a＋2b，→BC＝－5a＋6b，→CD＝7a－2b，则一定共线的三点是（）.（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D解：→BD＝→BC＋→CD＝2a＋4b＝2→AB，所以A、B、D三点共线.故选（A）．4．设α、β、γ为平面，m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）．（A）α⊥β，α∩β＝n，m⊥n（B）α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ（C）α⊥β，β⊥γ，m⊥α（D）n⊥α，n⊥β，m⊥α解：（A）选项缺少条件mα；（B）选项当缺少条件β⊥α，若α∥β，β⊥γ时，m∥β；（C）选项由α⊥β，m⊥α只能得到mβ或m∥β．不能得到m⊥β．当α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m＝β∩γ时，mβ；（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题.故选（D）．5.若m、n∈{x|x＝a2×102＋a1×10＋a0}，其中ai∈{1，2，3，4，5，6，7}，i＝0，1，2，并且m＋n＝636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（）．（A）60个（B）70个（C）90个（D）120个解：由6＝5＋1＝4＋2＝3＋3及题设知，个位数字的选择有5种.因为3＝2＋1＝7＋6－10，故（1）由3＝2＋1知，首位数字的可能选择有2×5＝10种；（2）由3＝7＋6－10及5＝4＋1＝2＋3知，首位数字的可能选择有2×4＝8种.于是，符合题设的不同点的个数为5×(10＋8)＝90种.故选（C）．6．已知f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2007|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2007|（x∈R），且f(a2－3a＋2)＝f(a－1)．则a的值有（）.（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个解：由题设知f(x)为偶函数，则考虑在－1≤x≤1时，恒有f(x)＝2×(1＋2＋…＋2007)＝2008×2007．所以当－1≤a2－3a＋2≤1，且－1≤a－1≤1时，恒有f(a2－3a＋2)＝f(a－1)．由于不等式－1≤a2－3a＋2≤1的解集为3－52≤a≤3＋52，不等式－1≤a－1≤1的解集为0≤a≤2．因此当3－52≤a≤2时，恒有f(a2－3a＋2)＝f(a－1).故选（D）．2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝10，S10＝－5，则公差为d＝.解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由题设得5a1＋10d＝10，10a1＋45d＝－5．即a1＋2d＝2，2a1＋9d＝－1．解之得d＝－1.8.设f(x)＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)的图象经过点(2，1)，它的反函数的图象经过点(2，8)，则a＋b等于.解：由题设知loga(2＋b)＝1，loga(8＋b)＝2．化简得2＋b＝a，8＋b＝a2．相减得，a2－a－6＝0a＝－2(舍去)，a＝3．代入解得a＝3，b＝1．故a＋b等于4.9．已知函数y＝f(x)的图象如图，则满足f(2x2－x－1x2－2x＋1)f(lg(x2－6x＋20))≤0的x的取值范围为．解：因为lg(x2－6x＋20)＝lg[(x－3)2＋11]≥lg11＞1，所以f(lg(x2－6x＋20))≤0因此f(2x2－x－1x2－2x＋1)≥0．于是，由图象可知，2x2－x－1x2－2x＋1＝2x＋1x－1≤1(x≠1)．即x＋2x－1≤0，解得－2≤x＜1.故x的取值范围为x∈[－2，1)．10．圆锥曲线x2＋y2＋6x－2y＋10－|x－y＋3|＝0的离心率是．解：原式变形为(x＋3)2＋(y－1)2＝|x－y＋3|，即(x＋3)2＋(y－1)2＝2·|x－y＋3|2．所以动点(x，y)到定点(－3，1)的距离与它到直线x－y＋3＝0的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．11．在∆ABC中，已知tanB＝3，sinC＝223，AC＝36，则∆ABC的面积为．解：在∆ABC中，由tanB＝3，得B＝60°．由正弦定理得AB＝ACsinCsinB＝8．因为arcsin223＞60°，所以角C可取锐角或钝角，从而cosC＝±13．sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝23±36．故S∆ABC＝12AC·ABsinA＝83±62．12.设命题P:a2＜a，命题Q:对任何x∈R，都有x2＋4ax＋1＞0.命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是.解：由a2＜a得0＜a＜1．由x2＋4ax＋1＞0对于任何x∈R成立，得∆＝16a2－4＜0，即－12＜a＜12．因为命题P、Q有且仅有一个成立，故实数a的取值范围是－12＜a≤0或12≤a＜1．1Oxy（第9题）3三、解答题（本题满分60分，每小题15分）13.设不等式组x＋y＞0，x－y＜0．表示的平面区域为D.区域D内的动点P到直线x＋y＝0和直线x－y＝0的距离之积为2.记点P的轨迹为曲线C．过点F(22，0)的直线l与曲线C交于A、B两点.若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率.原解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示．设动点为P(x，y)，则|x＋y|2·|x－y|2＝2，即|x2－y2|＝4．由P∈D知x＋y＞0，x－y＜0，即x2－y2＜0．所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲线C的方程为y24－x24＝1(y＞0)．…………5分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆的圆心为Q(x1＋x22，y1＋y22).因为以线段AB为直径的圆L与y轴相切，所以半径r＝12|AB|＝|x1＋x22|，即|AB|＝|x1＋x2|．①…………10分因为直线AB过点F(22，0)，当ABx轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－22)．代入双曲线方程y24－x24＝1(y＞0)得，k2(x－22)2－x2＝4，即(k2－1)x2－42k2x＋(8k2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．所以x1＋x2＝42k2k2－1，x1x2＝8k2－4k2－1．所以|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝(1＋k2)[42k2k2－12－48k2－4k2－1]＝|x1＋x2|＝|42k2k2－1|，化简得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝2－1（k2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1＜k＜－33．所以k＝－2－1．…………………15分又解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.由于直线x＝0与此圆相切，令x＝0，代入得y2－(y1＋y2)y＋y1y2＋x1x2＝0．故∆＝(y1＋y2)2－4(y1y2＋x1x2)＝0，即(y1－y2)2－4x1x2＝0．②因为直线AB过点F(22，0)，当ABx轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－22)．代入双曲线方程y24－x24＝1(y＞0)得，xyO4k2(x－22)2－x2＝4，即(k2－1)x2－42k2x＋(8k2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．且△＝(42k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0．所以x1＋x2＝42k2k2－1，x1x2＝8k2－4k2－1．y1－y2＝k(x1－22)－k(x2－22)＝k(x1－x2)．故②式即k2(x1－x2)2－4x1x2＝0k2(x1＋x2)2－4x1x2＝0．就是，k2(42k2k2－1)2－4(8k2－4k2－1)＝0化简得：k4＋2k2－1＝0，又由于y＞0，所以－1＜k＜－33．所以k＝－2－1．又解：②式亦可用下法得到：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆的圆心为Q(x1＋x22，y1＋y22).作QT⊥y轴于点T(0，y1＋y22)，则点T为切点．于是TA⊥TB．故得y1－y1＋y22x1·y2－y1＋y22x2＝－1②．14.如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，面AA1C1C是菱形，∠ACC1＝60°，侧面ABB1A1⊥AA1C1C，A1B＝AB＝AC＝1.求证：（1）AA1⊥BC1；（2）求点A1到平面ABC的距离.证：（1）设AA1中点为D，连C1D.因为A1B＝AB，所以BD⊥AA1．因为面ABB1A1⊥AA1C1C，所以BD⊥面AA1C1C．又∆ACC1为正三角形，AC1＝C1A1，所以C1D⊥AA1.从而BC1⊥AA1………………6分（2）由（1），有BD⊥面AA1C1C．设A1到面ABC的距离为h，用两种方法计算三棱锥AA1CB的体积．由AA1＝AC＝AB＝A1B＝1，BD＝32，S∆CAA1＝34，而CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos120°＝1＋(12)2＋2×1×12×12＝74．从而，BC2＝BD2＋CD2＝104BC＝102．设∆ABC的高为AE，则AE＝AB2－BE2＝1－(104)2＝64．S∆ABC＝12BC·AE＝12×102×64＝158．由13hS∆ABC＝VB－CAA1＝13BD·S∆CAA1.所以，34×32＝h·158h＝155．………………15分又解：以A为原点，平面AA1C1C为xOy平面，AA1为y轴建立坐标系，则A1(0，1，1)，B(0，12，32)，C(32，－12，0)．BCEA（第14题）B1BA1C1AC5设AH⊥平面ABC，且设→AH＝(x，y，z)，由AH⊥AB，知12y＋32z＝0y＝－3z；由AH⊥AC，知32x－12y＝0y＝3x．故→AH＝λ(1，3，－1)．故→AH的方向向量为→e＝15(1，3，－1)．所以，|→AH|＝→AA1·→e＝(0，1，1)·15(1，3，－1)＝155．即所求距离为155．15．已知数列{an}中，a1＝1，an＋3≤an＋3，an＋2≥an＋2.求a2007.原解：由题设，an＋2≥an＋2，则a2007≥a2005＋2≥a2003＋2×2≥…≥a1＋2×1003＝2007.………5分由an＋2≥an＋2，得an≤an＋2－2，则an＋2≤an＋3≤an＋2－2＋3＝an＋2＋1(n≥1).………………10分于是a2007≤a2006＋1≤a2005＋1×2≤a2002＋3＋1×2≤a1999＋3×2＋1×2≤…≤a1＋3×668＋1×2＝2007，所以a2007=2007．易知数列a1＝1，a2＝2，…，an＝n符合本题要求．………………15分注意：猜得答案an＝n或a2007＝2007，给2分．又解：由an＋3≤an＋3可得：an＋6≤an＋3＋3≤an＋3×2；①由an＋2≥an＋2可得：an＋6≥an＋4＋2≥an＋2＋2×2≥an＋2×3．②比较①、②知，两式中所有的等号成立．所以，an＋3＝an＋3，an＋2＝an＋2．但an＋3＝an＋1＋2＝an＋3，故an＋1＝an＋1，所以，an＝n对于一切n∈N*成立．故a2007＝2007．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论