2008-2009年度湖南省长沙市一中高一数学必修5教案《1.1.2余弦定理》

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com1.1.2余弦定理(1)一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。三、教学目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。四、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。五、教学过程：1.知识回顾问题1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？问题2、三角形的正弦定理主要解决哪几类问题的三角形？2.创设引入你能判断下列三角形的类型吗？问题3、隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com已知：AB、AC、角Ａ(两条边、一个夹角)已知：AB、AC、角Ａ(两条边、一个夹角),求出山脚的长度BC。3.提出问题你能够有更好的具体的量化方法吗？帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论。4.合作探究由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。利用向量法推导余弦定理：如图：设,,,CABbCAaCB，由三角形法则有baccabbacABCcabbababbaababaccccos2:cos22222222中即：△　　　　同理，让学生利用相同方法推导，BacabAbccbacos2,cos22222225.归纳概括余弦定理：Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。6.结构分析观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现AacbBC金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com7.知识联系问题4余弦定理是否还有其他形式?余弦定理的推论：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2bacCba8.方法应用问题5怎样准确地解答引入中的问题？已测的：ＡＢ＝１千米，AＣ＝1.5千米角Ａ＝６０度求山脚ＢＣ的长度．怎样利用已知条件判断三角形的形状？问题6、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形问题7余弦定理及其推论的基本作用是什么？①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。②判断三角形的形状.提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形222abc△ABC是锐角三角形222abc△ABC是直角三角形222abc问题8勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=090，则cos0C，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例9.定理应用例1．在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A⑴解：∵2222cosbacacB=22(23)(62)223(62)cos045=212(62)43(31)=8∴22.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc∴060.A解法二：∵sin023sinsin45,22aABb又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com评述：解法二应注意确定A的取值范围。问题9。在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？例2．在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形解：由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.6287.8161.70.5543,05620A；cos2222cabBca222134.6161.787.82134.6161.70.8398,03253B；0000180()180(56203253)CAB09047.10.课堂练习第8页练习第1（1）、（2）题。11.课堂小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。12.课后作业①课后阅读：课本第5--6页②习案与学案