2008-2012河北省数学中考难题(压轴题)

如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝．（2012）探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝________，AC＝________，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上(可与点A、C重合)，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．(当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0)(1)用含x，m或n的代数式表示S△ABD和S△CBD；(2)求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值；(3)对给定的一个x的值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值．思路分析：考点解剖：本题综合考查了三角函数、勾股定理、一次函数、反比例函数以及图形的面积问题、圆与直线的位置关系，解题的关键在于熟练抓住问题中隐含的数量关系建立函数关系式，并应用运动变化的观念解决问题．解题思路：[探究]的问题中，则应用三角函数即可使问题分别化归到两个直角三角形中进行解答；[拓展]的问题中，问题(1)根据三角形的面积即可解决；问题(2)根据问题(1)中的两个三角形面积之和即为△ABC的面积，从而建立函数关系式，并根据BD的最大值和最小值来确定(m+n)的最大值和最小值；问题(3)，可以看成是以点B为圆心的圆与边AC只有一个交点时，半径x的取值范围；[发现]当直线为AC所在的直线时，A，B，C三点到这条直线的距离之和最小．解答过程：解：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=，∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，∴CH=BC﹣BH=9．在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，∴AC=15，∴S△ABC=BC•AH=×14×12=84．故答案为12，15，84；拓展拓展（1）由三角形的面积公式，得S△ABD=BD•AE=xm，S△CBD=BD•CF=xn；（2）由（1）得m=，n=，∴m+n=+=，∵AC边上的高为==，∴x的取值范围是≤x≤14．∵（m+n）随x的增大而减小，∴当x=时，（m+n）的最大值为15；当x=14时，（m+n）的最小值为12；（3）x的求值范围是x=或13＜x≤14．发现：∵AC＞BC＞AB，∴过A、B、C这三点中距离最大的两点的直线就是过AC的直线，此时最小值为点B到AC的距离即AC边高的长度，为．规律总结：本题以图形面积为背景，考查了同学们对问题的探究能力．解答这类问题，往往从问题的特殊情况入手，探求一般性的结论．如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）.（2011）(1)求c，b（用t的代数式表示）；（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=；（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.图15答案：解：（1）把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0，再把x＝t，y＝0代入y＝＋bx，得＋bt＝0，∵t＞0，∴b＝－t；（2）①不变.当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°.②==解=，得∵4＜t＜5，∴舍去，∴t=（3）＜t＜思路分析：考点解剖：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．解题思路：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，易得AM=AD=t-1，则可求得∠AMP的度数，②由即可求得关于t的二次函数，当s=时，列方程即可求得t的值；（3）根据题意，将“好点”分为数量相等的两部分，可求两种特殊情况下的t值.将点（2，-3）的坐标代入，可求出；将点（3，-2）的坐标代入，可求出.∴＜t＜.规律总结：（1）当已知函数图象上点的坐标时，代入函数解析式，即可求待定系数；（2）图形面积的求解方法：①直接利用公式计算，②其他相关图形面积的和（差）；（3）求取值范围时，可以求起始位置和终止位置两个特殊位置的值，从而确定取值范围.某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=-100分之1+150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为W内(元)(利润=销售额-成本-广告费)若只在国外出售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳100分之1x²元的附加费,设月利润为W外(元))(利润=销售额-成本-广告费)解：1.当x=1000时,y=_140____元/件,W内=___57500___元2.分别求出W内,W外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围)W=xy-20x-62500=x（-x+150）-20x-62500=-x+130x-62500W=150x-ax-x=-x+（150-a）x3.当x为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y＝x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润＝销售额－成本－广告费）.若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润＝销售额－成本－附加费）.（2010）（1）当x＝1000时，y＝_______元/件，w内＝_______元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？W==360000W==25×（150-a）=360000解得a=304.如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?当x=5000时，W=-×5000+130×5000-62500=337500当x=5000是，W=-×5000+（150-a）×5000=500000-5000a当500000-5000a=337500时a=32.5∵10≤a≤40∴当10≤a32.5时，WW，选择在国外销售当a=32.5时，W=W，选择在国内、国外销售都可以当32.5a≤40时，WW，选择在国内销售如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（2009）（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是_________；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．解：(1)1，.(2)作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴AP=3-t.由△AQF∽△ABC，，得.∴.∴，即.(3)能.①当DE∥QB时，如图4.∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形.此时∠AQP=90°.由△APQAP∽△ABC，得，即.解得.②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形.此时∠APQ=90°.由△AQP∽△ABC，得，即.解得.(4)或.①点P由C向A运动，DE经过点C.如图15，在RtABC△中，∠C=90AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE−EF−FC−CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线CA−BC于点G．点PQ，同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点PQ，运动的时间是t秒（t0）．（2008）（1）DF，两点间的距离是；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EF−FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值解：（1）25．（2）能．如图5，连结，过点作于点，由四边形为矩形，可知过的中点时，把矩形分为面积相等的两部分（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），此时．由，，得．故．（3）①当点在上时，如图6．，，由，得．．②当点在上时，如图7．已知，从而，由，，得．解得．（4）如图8，；如图9，．（注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻，如图8；此后，点继续上行到点时，，而点却先下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻，如图9；当时，点均在上，不存在）