2008年振动力学期末考试试题

2008年振动力学期末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。AB转角：Ly/系统动能：m1动能：21121ymTm2动能：222222222222)31(21))(31(21)31(2121ymLyLmLmJTm3动能：232232333)21(21))(21(2121ymRyRmJT系统势能：221)21(21)21(ykygmgymV在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：EykgymgymymmmVT2212321)21(2121)2131(21上式求导，得系统的微分方程为：Eymmmky)2131(4321固有频率和周期为：)2131(43210mmmk2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。物体B动能：22121xmTx轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为xvc21，角速度为xR21，转过的角度为xR21。轮子动能：)83(21)41)(21(21)41(212121212221212212xmxRRmxmJvmTc系统势能：22228)21(21)(2121xkxRRkRkkxVc在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：ExkxmmVT22218)83(21上式求导得系统的运动微分方程：083221xmmkx固有频率为：210832mmk第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k因此系统刚度矩阵为：kkkk4222系统质量矩阵为：mm200系统动力学方程为：0042222002121xxkkkkxxmm频率方程为：024222)(Δ22mkkkmk解出系统2个固有频率：mk)22(21，mk)22(222、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。解：系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。当x1＝1，x2＝0时，AD转角为L3/1，两个弹簧处的弹性力分别为Lk和Lk2。对D点取力矩平衡，有：kLk91411；另外有kLk21。同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：kLk22，kLk12因此，系统刚度矩阵为：kLkLkLkL914系统质量矩阵为：mm00系统动力学方程为：00914002121xxkLkLkLkLxxmm频率方程为：091422mkLkLkLmkL即：0523922242LkkmLm第三题（20分）在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4=k0，又k2=2k0，求系统固有频率；（3）取k0=1，m1=8/9，m2=1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2DkL32kL311k11k2x1xx1x2当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：3222421kkkkkkk系统质量矩阵为：2100mm系统动力学方程为：00002132224212121xxkkkkkkkxxmm（2）当0431kkkk，022kk时，运动微分方程用矩阵表示为：003224002100002121xxkkkkxxmm频率方程为：04)3)(4(20220210kmkmk08)43(202021421kkmmmm求得：)168943(22221212121021mmmmmmmmk)168943(22221212121022mmmmmmmmk（3）当k0=1，m1=8/9，m2=1时，系统质量阵：10098M系统刚度阵：3224K固有频率为：2321，622主模态矩阵为：112343Φ主质量阵：30023MΦΦMTp主刚度阵：180049KΦΦKTp模态空间初始条件：44)0()0()0()0(21121xxqqΦ，00)0()0()0()0(21121xxqqΦ模态响应：01211qq，02222qq即：ttq11cos4)(，ttq22cos4)(因此有：tttttqtqtxtx21212121cos4cos4cos6cos3)()()()(Φ第四题（20分）一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励tsin。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1=1，k2=3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少时，能够使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动？解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、为广义坐标，x为质心的纵向位移，为刚杆的角位移，如图示。当1x、0时：2111kkk，2)(1221Lkkk当0x、1时：2)(1211Lkkk，4)(22122LkkkxCtsin因此，刚度矩阵为：4)(2)(2)(221121221LkkLkkLkkkkK质量矩阵为：212100mLmM系统动力学方程：0sin4)(2)(2)(121002211212212txLkkLkkLkkkkxmLm（2）当m=12，L=，k1=1，k2=3时，系统动力学方程为：0sin111410012txx频率方程为：01111242020即：0316122040求得：67420（3）令txxsin，代入上述动力学方程，有：0111112422x由第二行方程，解得21x，代入第一行的方程，有：11k12k11k21k21Lk22Lk12k22k11)124(122x，]1)124[(2要使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动，则需0x，因此1。第五题（20分）如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为。在梁的a位置作用有集中载荷)(tF。已知梁的初始条件为：)()0,(1xfxy，)()0,(2xfxy。（1）推导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应),(txy的详细过程。（假定已知第i阶固有频率为i，相应的模态函数为)(xi，~1i）提示：梁的动力学方程为：),(]),([222222txftySxtxyEIx，其中)()(),(axtFtxf，为函数。解：（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：0),(]),([222222ttxySxtxyEIx),(txy可写为：)sin()()()(),(taxtqxtxy代入梁的动力学方程，有：SEI2)(设与i、j对应有i、j，有：iiiSEI2)(（1）jjjSEI2)(（2）式（1）两边乘以j并沿梁长对x积分，有：ljiilijdxSdxEI020)(（3）利用分部积分，上式左边可写为：lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(（4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：lljiijdxEIdxEI00)(将上式代入（3）中，有：lljiijidxSdxEI002（5）式（2）乘i并沿梁长对x积分，同样可得到：F(t)yxLalljijjidxSdxEI002（6）由式(5)、(6)得：ljijidxS0220)(（7）如果ji时，ji，则有：ljidxS00当ji（8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得：ljidxEI00当jilijdxEI00)(当ji上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当ji时，式（7）总能成立，令：lpjjMdxS02pjM、pjK即为第j阶主质量和第j阶主刚度。由式（6）知有：pjpjjMK2如果主振型)(xj中的常数按下列归一化条件来确定：102pjljMdxS（9）则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度pjK为2j。式（9）与（8）可合并写为：lijjidxS0由式（6）知有：lijjjidxEI02，lijjjjdxEI02)(（2）悬臂梁的运动微分方程为：),(2244txftySxyEI（1）其中：)()(),(axtFtxf（2）令：1)()(),(iiitqxtxy（3）代入运动微分方程，有：),()(11txfqSqEIiiiiii（4）上式两边乘)(xj，并沿梁长度对x进行积分，有：