2008电子科技大学随机信号分析期末考试

第1页共5页一、设相互独立的随机变量,XY的概率密度函数分别1212(),()xyXYfxeUxfyeUy，（1）求Z=X+Y的特征函数；（2）求X+Y的均值？（10分）解：（1）因为XY相互独立，所以()()()ZXYuuu110()()xjuxjuxXxxfxedxeedx11101xjuxeedxju，()Yy22202xjuxeedxju1212()Zujuju（1分）（2）E（X+Y）=EX+EY121200xyxedxyedy1211二、（10分）随机信号X(t)的均值()10cos(/40)Xmtt，相关函数,50cos((2)/40)cos(/40)XRttt。现有随机信号()YtXt，均匀分布于[0，80]区间。求：1．[(168)],[(166)(161)]EXEXX2．[(168)],[(171)(161)]EYEYY,讨论Yt的平稳性解:1.[(168)](168)10cos(168/40)XEXm[(166)(161)]50[cos(327/40)cos(5/40)]EXX2.因为Y(t)是周期平稳信号X(t)在一个周期内的均匀滑动,根据定理,它是一个广义平稳信号，学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________……….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共6页2且8008001[(168)](168)()80110cos(/40)080YXEYmmtdttdt8008001[(171)(161)],80150cos((2)/40)cos(/40)8050cos(/40)252XEYYRttdttdt三、若随机信号()cosXtAt，其中A是一个贝努里型的随机变量，且满足1[1][1]2PAPA，为常数。（1）请画出随机信号()Xt所有可能的样本函数；（2）计算随机信号()Xt的一维概率密度函数(;)fxt；（3）计算随机信号()Xt的均值函数和相关函数12(,)Rtt。（10分）解：（1）随机信号()Xt有两条可能的样本函数，如下图所示：X(t)t01-13π/2ωπ/2ω（2）显然，1[()cos][()cos]2PXttPXtt，11(;)(cos)(cos)22fxtxtxt（3）11[()]coscos022EXttt212121212(,)[()()][coscos]coscosRttEXtXtEAtttt四、若随机信号1020()cossinXtXtXt，其中12XX和彼此独立且都是均值为0的高斯随机变量，还满足12225XX=。试求：a)随机信号()Xt的均值函数[()]EXt、均方值函数2[()]EXt和相关函数12(,)Rtt；b)随机信号()Xt的一维概率密度函数(;)fxt。（10分）解：学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________……….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共6页3（1）1020[()][cossin]0EXtEXtXt由于高斯随机变量12XX和彼此独立，均值为0，12225XX=所以12XX和彼此不相关、正交，即1212[][]0CXXEXX。并且有22212[][]5EXEX。12101201102202(,)[cossincossin]RttEXtXtXtXt221010212010212010220102[coscoscossinsincossinsin]EXttXXttXXttXtt010201025(coscossinsin)tttt0125cos()tt所以2[()](,)5EXtRtt（2）由于12XX和是高斯随机变量，根据高斯随机变量的性质知，随机信号()Xt是高斯随机信号。2/101(;)10xfxte五、令随机过程为：0cosXtAt，式中A和0是常数，是随机变量。令：2,0()20,f其他计算：（1）EXt；（2）2EXt；（3）2AXt（4）判断Xt的广义平稳性和2Xt的广义平稳性及各态历经性。（10分）解：（1）2000022222cos()sin()cos()40AAEXtAtdtt（2）2222002222000220cos()1cos(22)2221cos(22)sin(22)2220sin22AEXtEAtEtAAAAtdtAAt（3）222200220cos()1cos(22)211limcos(22)222TTTAAXtAAtAtAAtdtT（4）因为EXt是t的函数，所以Xt不是广义平稳的。因为2EXt是t的函数，所以2Xt不是广义平稳的。又22AXtEXt，所以2Xt不是各态历经的。学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________……….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共6页4六、考虑两个各态历经的噪声电压的和：12()()ntntnt,1()nt的功率为5瓦，2()nt的功率为10瓦，1()nt的直流分量为2伏，2()nt的直流分量为1伏，确定在以下条件下()nt的功率：（a）1()nt和2()nt是正交的。（b）1()nt和2()nt是互不相关的。（c）1()nt和2()nt的互相关在0时为2。（10分）解：（a）1()nt和2()nt是正交的，有12112212()()(,)0nnEntntRtt。22221211222212()()2()()51015PEntEntntEntntntntEntEntwatts（b）1()nt和2()nt是互不相关的，121212121122(,)(,)()()0nnnnCttRttEntEnt2221122221112222()()2()()52(2)(1)1011PEntEntntntntEntEntEntEntwatts（c）1()nt和2()nt的互相关在0时为2，有1212()()(0)2nnEntntR。12222112222122()()2(0)5221019nnPEntEntntntntEntREntwatts七、随机信号()cos(),XtBt式中B为常数，,为统计独立的随机变量，在[0,2]上均匀分布，为均匀分布。问：（1）信号X(t)是否具有均值各态历经性？（2）若X(t)通过RC低通电路后输出信号Y(t)，Y(t)是否具有均值各态历经性？（10分）解：（1）X(t)的均值为：[cos]coscos00EXtEBtBEtBEEtBEX(t)的时间平均为：1()lim()0()2TTTAXtXtdtEXtT故Xt均值各态历经。（2）均值各态历经的随机信号通过线性时不变系统后，其输出仍满足均值各态历经性。因此，Y(t)具有均值各态历经性。学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________……….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共6页5八、已知零均值平稳高斯噪声000()()cos()sin,210Xtittqtt其功率谱密度如下图所示，试求：（1）同相与正交分量的自相关函数；（2）同相与正交分量的联合密度函数(,;,)iqfiqtt。（10分）解：（1）因为()Xt是零均值平稳随机信号,所以有：000()()()()0XXiqSSSS其它功率谱图形如下：同相与正交分量的自相关函数为：sin10()()2iqRR（2）正交分量的一维概率密度函数为：2221(;)2XiiXfite，2221(;)2XqqXfqte式中，220X正交分量在同一时刻独立，其联合概率密度函数为：222221(,;,)(;)(;)2XiqiqiqXfiqttfitfqte2()Xsww20002002202202()()iqswsw、w10010学院_______________________姓名____________学号________________任课老师____________选课号______________……….……密…..……….封……..……线………..…以………..…内………....答…………...题…………..无…….…….效…..……………..第页共6页6九、将0X()()2NR的平稳白噪声X(t)输入到如图所示RC低通滤波器。证明：输出Y(t)的自相关函数可表示为322131321()()()(0)YYYYRttRttRtttttR，其中：（10分）解：因为输入为平稳RS，故输出Y(t)也是平稳RS由图：2222111111jCHjHjRjCjRCRC02XSN200222222112/214+1YXNNRCSSHjRCRCRC／04RCYNReRC32213221313221000310444ttRCttRCYYYttttRCttRCYRttRttNeeRRCNNeeRttRCRC十、已知平稳随机信号的相关函数为2||()4XRe，求它的矩形等效带宽。（10分）解：2||()4XRe，(0)4XR2164XS，04XS，00014122082XXeqXXSRBdSS