2008级《量子力学试卷A》答案

1/7《量子力学》试题A答案（闭卷）（电子科学与技术系2008级）姓名班级学号题号12345678910总分得分1、(10分)简述量子力学的5个基本假设[答](1)微观体系状体由波函数描述。波函数满足连续性、有限性和单值性。(2)力学量用厄米算符表示。(3)将体系的状态波函数用算符的本征函数展开则在态中测量力学量得到结果为的几率是,得到结果在范围内的几率是(4)体系的状态波函数满足薛定谔方程：,为体系的哈密顿算符。(5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。2、(10分)分别判断下列三个波函数所描述的状态是否为定态？并说明理由。1()()()EEixitixitxuxeuxe12212()()()()EEititxuxeuxeEE3()()()EEititxuxeuxe[答]21122*222()()()(2)EEEEititxxuxee与时间无关,是定态；2*22111()()()(2)ixixxxuxee，与时间有关,不是定态；iHtHn2ncd2cdFF()nnnFFnnnccd2/7222*333()()()(2)EEititxxuxee，与时间有关,不是定态。3、(10分)已知一质量为m的粒子在一维势场000)(xaxaxxU或中运动（1）写出该粒子一维薛定谔定态波动方程;（2）求解该粒子的能级;（3）求解该粒子归一化后的波函数.[答]222222()()2()()()2dxExxamdxdxxExxamdx令222mEk则有通解为kxBkxAxcossin)(边界条件为：解得，能级波函数为：000)sin(2)(xaxaxaxnax或4、(10分)(1)设ˆˆ,AB为厄米算符，且[ˆˆ,AB]0，证明ˆˆˆˆ()iABBA为厄米算符；(2)下列算符中，哪些是线性算符？其中哪些是厄米算符？dxdx,2，22dxd，，Sin，dxdi，ln[答](1)因为ˆˆ,AB为厄米算符，对于任意两个波函数,，有：***ˆˆAdAd，***BdBdE222()0dkxdx()sincos0(0)cos0aAkaBkaBka0Bnka22222nEma3/7***********************ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,]()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆˆˆ()([,])iABdiABBAdiABdiBAdiABdiBAdiBAdiABdiBAdiABBdiABiBAdiABd即ˆˆˆˆ()iABBA为厄米算符，得证。(2所以线性算符和厄米算符定义可判断：线性算符：dxdx,2，22dxd，dxdi厄米算符：2,x22dxd，dxdi5、(10分)根据测不准关系，估算氢原子的基态能级。[答]由测不准关系rp/rp对于氢原子222peEmr,即222peEpm处于基态时，0200pppdEedpm，20mep所以2422402212meememeEm6、(10分)设氢原子处在基态，已知氢原子基态波函数为412/2/3100area，4/7计算(1)库仑势能rerV2)(的平均值;(2)最可几半径。[答](1)221()eVrerr1001002*2//23/23/20121121()444raraVredeeerdrrara22/304()raeVrerdra解得2222/2/2002()raraeeeVredrdeaaa(2)电子的径向分布函数为()wr22100()4wrdrrdr2222/10034()4rawrrrea对于最可几半径0r，0()0rrdwrdr，并且022()0rrdwrdr，解得0ra。7、(10分)设已知在zLLˆ,ˆ2的共同表象中，算符xˆL矩阵为000200yiLiii,(1)求yˆL的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵ˆyL对角化;(2)求xˆL的矩阵表示。5/7[答](1)设yˆL的本征函数为123ccc，则yˆL的本征方程112233000200icciiccicc，即'1'2'30020iciicic，这里'2'''000iiii，解得：'12，'20，'32，所以yˆL的本征值依次为，0，。1时，1232020202iciicci，1212323222ciciccicicc，经整理111221i，同理得211021，311221i对角化100000001yL（2）根据[,]yzxLLiL,将矩阵形式带入，解得0101012010xL8、(10分)(1)什么是全同性原理，全同性原理对体系波函数有何要求？(2)证明电子具有自旋的实验有哪些？自旋角动量有何特点？[答]（1）全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不引起体系物理状态的改变。描写全同粒子体系的状态波函数只能是对称的或反对称的，而且其对称性（交换对称性）不随时间改变。（2）a、Stern-Gerlach实验，基态（S态）氢原子束，经过非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。b、塞曼效应。c、光谱的精细结构。6/7自旋角动量满足与其他角动量相同的对易关系ˆˆˆSSiS，且在任意方向投影只能取±/2两个值，自旋量子数s只有一个数值1/2。9、（10分）已知某表象中Hamilton量的矩阵形式120230001cHcc和微扰论方法中能级二级近似公式为2(2)(0)(0)||knnknnkHEEE，（1）讨论微扰法适用的条件，（2）设c1，求H本征值的一级近似和二级近似。[答]（1）(0)(0)(0)(0)1mnnmnmHEEEE¢?-，Hmn要小，即微扰矩阵元要小；|En(0)–Em(0)|要大，即能级间距要宽。（2）0HHH，010002003020000100cHHcc，由非简并微扰公式：(1)2(2)(0)(0)||nnnknnknnkEHHEEE能量一级修正：(1)111(1)222(1)33300EHEHEHc能量二级修正为：222(2)2311211(0)(0)(0)(0)(0)(0)111213||||||2kkkHHHEcEEEEEE7/7222(2)2322122(0)(0)(0)(0)(0)(0)222123||||||2kkkHHHEcEEEEEE222(2)313233(0)(0)(0)(0)(0)(0)333132||||||0kkkHHHEEEEEEE10、（10分）（1）证明量子力学体系所有任意态中，基态能量最低，（2）在恒定弱电场ε作用下的一维带电荷e的简谐振子Hamilton量为22222d1ˆ2d2Hxexx试参考一维简谐振子的本征函数22/2()()xnnnxNeHx，提出此体系基态的近似解，并说明理由。[答]（1）设H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，mnnmnnnnnnnEH|1||,2,1,0,||ˆ其中设体系的Hamilton量本征值由小到大顺序排列为：能级E0E1E2...En...，本征态|ψ0,|ψ1,|ψ2,...,|ψn,...则任意叠加态nnc的能量为20ˆnnHcEE。（2）试探波函数的选取原则：根据体系Hamilton量的形式和对称性推测合理的试探波函数；试探波函数要满足问题的边界条件；为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；若体系Hamilton量可以分成两部分H=H0+H1，而H0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。参考：22()()eexxA，φ(x)是光滑连续的函数，关于x=2e点对称；满足边界条件即当|x|→∞时，φ→0；φ(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。