2009031102_陈丕权_化二次型为标准形的方法

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练化二次型为标准形的方法系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号：2009031102学生姓名：陈丕权成绩：2012年6月化二次型为标准形的方法陈丕权长沙学院信息与计算科学系,湖南长沙,410022摘要：二次型作为高等代数中的重要部分，与矩阵密切相关，二次型的化简方法是对其研究与应用的重要基础．教材中化二次型为标准形的方法主要介绍了换元法和初等变换法，本文则介绍了另外两种方法，正交变换法和第三种初等行变换法．关键词：二次型，标准形，正交变换，第三种初等阵1引言二次型是高等代数的重要内容之一，化二次型为标准形在很多领域有着重要的意义．张钊在文献[1]中介绍了化二次型为标准形的几种基本方法．陈惠汝,刘红超在文献[2]中介绍了花二次型为标准形的合同变换法和正交变换法．陈卫红则在文献[3]中介绍了化二次型为标准形的一种特殊方法—第三种初等行变换法．本文主要介绍了正交变换法和第三种初等行变换法．2正交变换法求一个正交变换将实二次型化为标准形通常采用的方法是先求二次型矩阵的特征值,再对每一个特征值求出全部线性无关的特征向量,即求解与特征值对应的方程组0)(XAE的基础解系,并将其正交规范化．主轴定理[１]对于任意一个n元二次型Axxxxxfn'),,(21定能找到一个正交线性变换Tyx化为标准形：2222211nnyyy．其中n,,,21是是对称矩阵A的全部特征值，正交矩阵Ｔ的n个列向量恰为A的对应于特征值n,,,21的标准正交特征向量．则根据主轴定理有用正交变换法化二次型为标准形的步骤如下：第一,写出二次型的矩阵A；第二,求出A的特征值,得n,,,21；第三,求出对应的特征向量；第四,将特征向量作正交变换，得到正交的特征向量；第五,将正交的特征向量单位化；第六,将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵Q，这时DAQQAQQ1'其中D是对角矩阵，它由A的特征值构成，即),,,(21ndiagD写的时候要注意与特征向量写的顺序一致；第七,写出可逆线性变换QYX，则有f2222211nnyyy例1［２］用正交变换化二次型323121232132148433),,(xxxxxxxxxxf为标准形,并求作的正交变换．解二次型的矩阵为324202423AA的特征方程0)8()1(32422423||2AE解得特征值81，132．81时，解方程0)(1XAE，得)'2,1,2(1，单位化得)'32,31,32(1；132，解方程0)(XAE，得)'0,1,21(2，)'1,0,1(3．将32,正交化得)'0,1,21(2)'1,52,54(),(),(222333单位化得)'0,52,51(2，)'455,452,454(3于是正交矩阵45503245252314545132T，100010008D，作非退化线性替换TYX，二次型的标准形为2322213218),,(yyyxxxf3第三种初等行变换法这种方法可以认为是合同变换法的改革与优化，实质上就是连续用第三种初等变换把A化为上三角形．以)(kilT表示将单位矩阵的j行（列）的k倍加到第i行（列），所得到的第三种初等阵．定理［３］设A是n阶实对称矩阵，P是有限个第三种初等矩阵)(kilT，1i的乘积．且110'AadAP其中a是1n维向量，1A是1n阶矩阵，则必有100'AdAPP证明由于P是)(kilT的乘积，且1i，根据矩阵的乘法规则，用P右乘AP'时，AP'的第一列元素不变，从而110'AdAPP但A是实对称的，故APP'亦为实对称矩阵，故＝０，证毕．例2求非奇异阵P，将3121232221321422),,(xxxxxxxxxxf化为标准形．解逐次使用第三种初等行变换)(kilT，ji，将),(IA化成所要求的形状),(IA=100202010011001211第一行加到第二行100202011220001211）倍加到第三行第一行的（2-102220011220001211第二行加到第三行111000011220001211故由定理知021'APP100110111111011001)''('PP则二次型的标准型为22213212),,(yyxxxf．参考文献[1]张钊．化二次型为标准形的几种方法[J]．和田师范专科学校学报，2012,31(1):110-112．[2]陈惠汝,刘红超．浅谈二次型化标准形的两种方法［J］．长春师范学院学报，2004，23(2):13-15．[3]陈卫红．化实二次型为标准形的一种特殊方法［J］．安徽广播电视大学学报，2001第3期:94-96．