[高一数学]高一上数学必修一知识点及例题总结珍藏版

集合集合含义与表示集合间关系集合基本运算列举法描述法图示法子集真子集补集并集交集一、知识结构第一章集合一、集合有关概念a.集合的含义：一些对象一起考虑b.集合的中元素的三个特性：元素的确定性元素的互异性元素的无序性2020/1/161.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2．已知集合，若，且，求实数的值。3.若，求实数的值。}1,12,3{},3,1,{22aaaBaaA}3{BAa},,1{22xxxxc.集合的表示：注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N（0、1、2、···）正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1、列举法：{a,b,c……}2、描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR|x-32},{x|x-32}3、语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4、韦恩图解法:2020/1/161、集合满足求实数的值2、已知求m的取值范围。3、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有___人。22|190Axxaxa2|560Bxxx2|280Cxxx,AB,ACa{25}Axx{121}BxmxmBAd.集合的分类：1、有限集:含有有限个元素的集合2、无限集:含有无限个元素的集合3、空集:不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝0},1-a1)x2(ax|{xB0}4xx|{xA222，设.aCABA的值，求实数，满足二、集合间的基本关系1、“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。2．“相等”关系：A=B实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。★有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集知识结构概念三要素图象性质指数函数应用大小比较方程解的个数不等式的解实际应用对数函数函数第二章函数一、函数的有关概念1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．函数的概念BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。a.定义域定义：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)2020/1/16★求下列函数的定义域221533xxyx1、2、设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x2)的定义域为_____3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域是____b.值域值域:先考虑其定义域1、观察法2、配方法3、换元法4、判别式法的值域求11)1(2xy的值域求2-23-4)2(xxy的值域求xxy2-12(3)的值域求12-2)4(22xxxxyc.函数图象(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法a.描点法：b.图象变换法（3）常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换D.区间的概念1、区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间2、无穷区间3、区间的数轴表示．(1)(a,b)={x|axb}(2)[a,b]={x|a≤x≤b}(3)[a,b)={x|a≤xb}(4)(a,b]={x|ax≤b}(5)(a,∞)={x|xa}(6)[a,∞)={x|x≥a}(7)(-∞,b)={x|xb}(8)(-∞,b]={x|x≤b}(9)(-∞,∞)=R，实数集(10){a}(11)空集E.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A(原象)→B（象）(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。f.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx★已知()3fx则x的取值____的值域求41xxy1.函数的单调性(局部性质)（1）定义a.设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.b.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质.二．函数的性质（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1.任取x1，x2∈D，且x1x2；2.作差f(x2)－f(x1)；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5.下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、函数的奇偶性（整体性质）定义：（1）偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶数．（2）奇函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．具有奇偶性的函数的图象的特征:★偶函数的图象关于y轴对称；★奇函数的图象关于原点对称；若f(0)有意义，则f(0)=0（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤：a.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；b.确定f(－x)与f(x)的关系；c.作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定★函数奇偶性的判断方法三、函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：a.凑配法b.待定系数法c.换元法d.消参法(x)11)1()1(22fxxxxf，求已知f(x)3,4x[f(x)])()2(求是一次函数，且fxf(x),3)1(2)()4(fxxfxf求已知(x),2x1)x()3(fxf求若★典例四、函数最大（小）值常见求法;1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值.2.利用图象求函数的最大（小）值.3.利用函数单调性的判断函数的最大（小)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；反比例函数1、定义域.2、值域3、图象k0k0}0{xx}0{yy二次函数1、定义域.2、值域3、图象a0a0指数函数1、定义域.2、值域3、图象a10a1R+yxo1yxo1对数函数1、定义域.2、值域3、图象a10a1R+yxoyxo11