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当前位置:首页 > 临时分类 > 2009圆锥曲线(理科)高考题精选(答案)
付国教案第1页共7页圆锥曲线高考题精选答案1(2009浙江理)(本题满分15分)已知椭圆1C:22221(0)yxabab的右顶点为(1,0)A,过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1.(I)求椭圆1C的方程;(II)设点P在抛物线2C:2()yxhhR上,2C在点P处的切线与1C交于点,MN.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.解析:(I)由题意得212,,121babba所求的椭圆方程为2214yx,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(II)不妨设21122(,),(,),(,),MxyNxyPtth则抛物线2C在点P处的切线斜率为2xtyt,直线MN的方程为22ytxth,将上式代入椭圆1C的方程中,得2224(2)40xtxth,即22222414()()40txtthxth,因为直线MN与椭圆1C有两个不同的交点,所以有4221162(2)40thth,设线段MN的中点的横坐标是3x,则21232()22(1)xxtthxt,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设线段PA的中点的横坐标是4x,则412tx,由题意得34xx,即有2(1)10tht,其中的22(1)40,1hh或3h;当3h时有220,40hh,因此不等式4221162(2)40thth不成立;因此1h,当1h时代入方程2(1)10tht得1t,将1,1ht代入不等式4221162(2)40thth成立,因此h的最小值为1.2.(2009北京理)(本小题共14分)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3,右准线方程为33x(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线l是圆22:2Oxy上动点0000(,)(0)Pxyxy处的切线,l与双曲线C交于不同的两点,AB,证明AOB的大小为定值.付国教案第2页共7页【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.(Ⅰ)由题意,得2333acca,解得1,3ac,∴2222bca,∴所求双曲线C的方程为2212yx.(Ⅱ)点0000,0Pxyxy在圆222xy上,圆在点00,Pxy处的切线方程为0000xyyxxy,化简得002xxyy.由2200122yxxxyy及22002xy得222000344820xxxxx,∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且2002x,∴20340x,且22200016434820xxx,设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy,则20012122200482,3434xxxxxxxx,∵cosOAOBAOBOAOB,且121212010220122OAOBxxyyxxxxxxy,212012012201422xxxxxxxxx222200002222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxx.付国教案第3页共7页∴AOB的大小为90.【解法2】(Ⅰ)同解法1.(Ⅱ)点0000,0Pxyxy在圆222xy上,圆在点00,Pxy处的切线方程为0000xyyxxy,化简得002xxyy.由2200122yxxxyy及22002xy得222000344820xxxxx①222000348820xyyxx②∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且2002x,∴20340x,设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy,则2200121222008228,3434xxxxyyxx,∴12120OAOBxxyy,∴AOB的大小为90.(∵22002xy且000xy,∴220002,02xy,从而当20340x时,方程①和方程②的判别式均大于零).3.(2009山东卷理)(本小题满分14分)设椭圆E:22221xyab(a,b0)过M(2,2),N(6,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由。解:(1)因为椭圆E:22221xyab(a,b0)过M(2,2),N(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆E的方程为22184xy付国教案第4页共7页(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则△=222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmxxk,22222222212121212222(28)48()()()121212kmkmmkyykxmkxmkxxkmxxmmkkk要使OAOB,需使12120xxyy,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m,即263m或263m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,263r,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足263m或263m,而当切线的斜率不存在时切线为263x与椭圆22184xy的两个交点为2626(,)33或2626(,)33满足OAOB,综上,存在圆心在原点的圆2283xy,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB.因为12221224122812kmxxkmxxk,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxxxkkk,付国教案第5页共7页2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk42242423245132[1]34413441kkkkkkk,①当0k时22321||[1]1344ABkk因为221448kk所以221101844kk,所以2232321[1]1213344kk,所以46||233AB当且仅当22k时取”=”.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当0k时,46||3AB.②当AB的斜率不存在时,两个交点为2626(,)33或2626(,)33,所以此时46||3AB,综上,|AB|的取值范围为46||233AB即:4||[6,23]3AB【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.4.(2009广东卷理)(本小题满分14分)已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy,且ABxx.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点(,)Pst是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合.(1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;(2)若曲线22251:24025Gxaxyya与D有公共点,试求a的最小值.解:(1)联立2xy与2xy得2,1BAxx,则AB中点)25,21(Q,设线段PQ的中点M坐标为),(yx,则225,221tysx,即252,212ytxs,又点P在曲线C上,付国教案第6页共7页∴2)212(252xy化简可得8112xxy,又点P是L上的任一点,且不与点A和点B重合,则22121x,即4541x,∴中点M的轨迹方程为8112xxy(4541x).w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)曲线22251:24025Gxaxyya,即圆E:2549)2()(22yax,其圆心坐标为)2,(aE,半径57r由图可知,当20a时,曲线22251:24025Gxaxyya与点D有公共点;当0a时,要使曲线22251:24025Gxaxyya与点D有公共点,只需圆心E到直线:20lxy的距离572||2|22|aad,得0527a,则a的最小值为527.9.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)已知,椭圆C过点A3(1,)2,两个焦点为(-1,0),(1,0)。(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为2219114bb,解得23b,234b(舍去)所以椭圆方程为22143xy。……………4分(Ⅱ)设直线AE方程为:3(1)2ykx,代入22143xy得2223(34)4(32)4()1202kxkkxk设(x,y)EEE,(x,y)FFF,因为点3(1,)2A在椭圆上,所以2234()122x34FkkxyoxAxBD付国教案第7页共7页32EEykxk………8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以—K代K,可得2234()122x34Fkk32EEykxk所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyykxxkKxxxx即直线EF的斜率为定值,其值为12。……12分
本文标题:2009圆锥曲线(理科)高考题精选(答案)
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