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2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00-10∶00)一、填空题(每小题7分,共70分).已知sinαcosβ=1,则cos(α+β)=.2.已知等差数列{an}的前11项的和为55,去掉一项ak后,余下10项的算术平均值为4.若a1=-5,则k=.3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e=.4.已知3x+19x-1=13-31-x,则实数x=.5.如图,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,CQ=2QD.R为棱AD的中点,则点A、B到平面PQR的距离的比值为.6.设f(x)=log3x-4-x,则满足f(x)≥0的x的取值范围是.7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水cm3.8.设点O是△ABC的外心,AB=13,AC=12,则→BC·→AO=.9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009=2,则此数列的前2009项的和为.10.设a是整数,0≤b<1.若a2=2b(a+b),则b=.二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分).在直角坐标系xOy中,直线x-2y+4=0与椭圆x29+y24=1交于A,B两点,F是椭圆的左焦点.求以O,F,A,B为顶点的四边形的面积.12.如图,设D、E是△ABC的边AB上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求BC.13.若不等式x+y≤k2x+y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围.14.⑴写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数,请予以验证;⑵是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数?请证明你的结论.EBCDABCDAPQR2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00-10∶00)一、填空题(每小题7分,共70分).已知sinαcosβ=1,则cos(α+β)=.填0.解:由于|sinα|≤1,|cosβ|≤1,现sinαcosβ=1,故sinα=1,cosβ=1或sinα=-1,cosβ=-1,∴α=2kπ+π2,β=2lπ或α=2kπ-π2,β=2lπ+πα+β=2(k+l)π+π2(k,l∈Z).∴cos(α+β)=0.2.已知等差数列{an}的前11项的和为55,去掉一项ak后,余下10项的算术平均值为4.若a1=-5,则k=.填11.解:设公差为d,则得55=-5×11+12×11×10d55d=110d=2.ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)k=11.3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率e=.填-1+52.解:由(2b)2=2c×2aa2-c2=ace2+e-1=0e=-1+52.4.已知3x+19x-1=13-31-x,则实数x=.填1.解:即13x-1=3x3(3x-1)32x-4×3x+3=03x=1(舍去),3x=3x=1.5.如图,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,CQ=2QD.R为棱AD的中点,则点A、B到平面PQR的距离的比值为.填14.解:A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比.VAPQR=12VAPQD=12×13VAPCD=12×13×13VABCD=118VABCD;又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1-13-23×13)SBCD=49SBCD,VRBPQ=49VRBCD=12×49VABCD=418VABCD.∴A、B到平面PQR的距离的比=1∶4.又,可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值:在面BCD内,延长PQ、BD交于点M,则M为面PQR与棱BD的交点.BCDAPQRMNRQPADCB由Menelaus定理知,BMMD·DQQC·CPPB=1,而DQQC=12,CPPB=12,故BMMD=4.在面ABD内,作射线MR交AB于点N,则N为面PQR与AB的交点.由Menelaus定理知,BMMD·DRRA·ANNB=1,而BMMD=4,DRRA=1,故ANNB=14.∴A、B到平面PQR的距离的比=1∶4.6.设f(x)=log3x-4-x,则满足f(x)≥0的x的取值范围是.填[3,4].解:定义域(0,4].在定义域内f(x)单调增,且f(3)=0.故f(x)≥0的x的取值范围为[3,4].7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水cm3.填78000.解:设净水器的长、高分别为x,ycm,则xy=300,V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy)≥30(1200+260x×20y+300)=30(1500+1200)=30×2700.∴至少可以存水78000cm3.8.设点O是△ABC的外心,AB=13,AC=12,则→BC·→AO=.填-252.解:设|→AO|=|→BO|=|→OC|=R.则→BC·→AO=(→BO+→OC)·→AO=→BO·→AO+→OC·→AO=R2cos(π-2C)+R2cos2B=R2(2sin2C-2sin2B)=12(2RsinB)2-12(2RsinC)2=12(122-132)=-252.9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009=2,则此数列的前2009项的和为.填2008+2.解:若an+1≠0,则an=2-2an+1,故a2008=2-2,a2007=2-22-2=-2,a2006=2+2,a2005=2.一般的,若an≠0,1,2,则an=2-2an+1,则an-1=an+1-2an+1-1,an-2=22-an+1,an-3=an+1,故an-4=an.于是,Σk=12009an=502(a1+a2+a3+a4)+a2009=502(a2005+a2006+a2007+a2008)+a2009=2008+2.RRBCAOR10.设a是整数,0≤b<1.若a2=2b(a+b),则b=.填0,3-12,3-1.解:若a为负整数,则a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a≥0.于是a2=2b(a+b)<2(a+1)a2-2a-2<00≤a<1+3a=0,1,2.a=0时,b=0;a=1时,2b2+2b-1=0b=3-12;a=2时,b2+2b-2=0b=3-1.说明:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分).在直角坐标系xOy中,直线x-2y+4=0与椭圆x29+y24=1交于A,B两点,F是椭圆的左焦点.求以O,F,A,B为顶点的四边形的面积.解:取方程组4x2+9y2=36,x=2y-4.代入得,25y2-64y+28=0.此方程的解为y=2,y=1425.即得B(0,2),A(-7225,1425),又左焦点F1(-5,0).连OA把四边形AFOB分成两个三角形.得,S=12×2×7225+12×5×1425=125(72+75).也可以这样计算面积:直线与x轴交于点C(-4,0).所求面积=12×4×2-12×(4-5)×1425=125(72+75).也可以这样计算面积:所求面积=12(0×2-0×0+0×1425-(-7225)×2+(-7225)×0-(-5)×1425+(-5)×0-0×0)=12(14425+14255)=125(72+75).12.如图,设D、E是△ABC的边AB上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE=12.求BC.解:ADAC=ACAB△ACD∽△ABC∠ABC=∠ACD=∠BCE.∴CE=BE=12.AE=AB-BE=16.∴cosA=AC2+AE2-CE22AC·AE=142+162-1222·14·16=142+28·42·14·16=1116.∴BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=142+282-2·14·28·1116=72·9BC=21.13.若不等式x+y≤k2x+y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围.解法一:显然k>0.(x+y)2≤k2(2x+y)(2k2-1)x-2xy+(k2-1)y≥0对于x,y>EBCDACFyxOBA0恒成立.令t=xy>0,则得f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)≥0对一切t>0恒成立.当2k2-1≤0时,不等式不能恒成立,故2k2-1>0.此时当t=12k2-1时,f(t)取得最小值12k2-1-22k2-1+k2-1=2k4-3k22k2-1=k2(2k2-3)2k2-1.当2k2-1>0且2k2-3≥0,即k≥62时,不等式恒成立,且当x=4y>0时等号成立.∴k∈[62,+∞).解法二:显然k>0,故k2≥(x+y)22x+y=x+2xy+y2x+y.令t=xy>0,则k2≥t2+2t+12t2+1=12(1+4t+12t2+1).令u=4t+1>1,则t=u-14.只要求s(u)=8uu2-2u+9的最大值.s(u)=8u+9u-2≤82u·9u-2=2,于是,12(1+4t+12t2+1)≤12(1+2)=32.∴k2≥32,即k≥62时,不等式恒成立(当x=4y>0时等号成立).又:令s(t)=4t+12t2+1,则s(t)=8t2+4-4t(4t+1)(2t2+1)2=-8t2-4t+4(2t2+1)2,t>0时有驻点t=12.且在0<t<12时,s(t)>0,在t>12时,s(t)<0,即s(t)在t=12时取得最大值2,此时有k2≥12(1+s(12))=32.解法三:由Cauchy不等式,(x+y)2≤(12+1)(2x+y).即(x+y)≤622x+y对一切正实数x,y成立.当k<62时,取x=14,y=1,有x+y=32,而k2x+y=k62<62×62=32.即不等式不能恒成立.而当k≥62时,由于对一切正实数x,y,都有x+y≤622x+y≤k2x+y,故不等式恒成立.∴k∈[62,+∞).14.⑴写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数,请予以验证;⑵是否存在四个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数?请证明你的结论.解:对于任意n∈N*,n2≡0,1(mod4).设a,b是两个不同的自然数,①若a≡0(mod4)或b≡0(mod4),或a≡b≡2(mod4),均有ab≡0(mod4),此时,ab+10≡2(mod4),故ab+10不是完全平方数;②若a≡b≡1(mod4),或a≡b≡3(mod4),则ab≡1(mod4),此时ab+10≡3(mod4),故ab+10不是完全平方数.由此知,ab+10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod4)且a与b均不能被4整除.⑴由上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取a=2,b=3,c=13,则2×3+10=42,2×13+10=62,3×13+10=72.即2,3,13是满足题意的一组自然数.⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数.这是因为,任取4个不同自然数,若其中有4的倍数,则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数,如果这4个数都不是4的倍数,
本文标题:2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
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