复变函数与积分变换-------2.1

第三章复变函数的积分1.有向曲线2.积分的定义3.积分性质4.积分存在的条件及其计算法§3.1复变函数积分的概念1.有向曲线:()()()()(1)Cztxtiytt的表示0)(')('tztz连续且光滑或分段光滑曲线约定C:).(因而可求长:的方向规定C:A,B,AB,BA,;C开曲线指定起点终点若为正则为负记作A(起点)B(终点)C:围线CC,C正方向观察者顺此方向沿前进一周逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.C的内部一直在观察者的左边。定义设E为复平面内的区域，若在E内任意作一简单闭曲线，其内部仍全含于E，则称E为单连域；一个区域若不是单连域，就称为多连域（或复连域）．一条简单闭曲线的内部是单连域．单连域E在几何直观上是其中没有洞或割痕，所以单连域E内的任何一条简单闭曲线可以在E内连续变形不用越过或接触边界点而缩成一点2.积分的定义BzzzAnABn,,,:)3(10小弧段个任意分划成将⌒14()()kkkkkzzfz，作乘积1(5)()nnkkkSfz作和式Dzzfw)()1(设定义.)2(的一条光滑有向曲线点内点为区域BADCDABxyo11z1kzkkz1nzkz111,,max{}kkkkkkkknzzzSzzS记为的长度0()1lim()(2)nkknkfzI若如何取无论如何分割iC,CdzzfBACzf)(,)()(记作的积分从沿曲线为则称)3()(lim)(.,.1nkkknCzfdzzfei(1)C()Cfzdz为闭线，记若曲作baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(],,[:)2(则取极限求和取乘积分割2212(),,CCCabbadzbazdz特例：若表示连接点的任一曲线则0,0,)2(CCzdzdzC则表示闭曲线若关。和的形状还不仅因为一般不能写成存在如果方向有与曲线有关,与.,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3(12124)()()()nnCCCCCCCCfzdzfzdz分段光滑曲线（对路径的可加性）.)()()()(,)5估值定理上满足在函数的长度为设MLdszfdzzfMzfCzfLCCC3.积分性质1)()()()CCfzdzfzdz方向性3)[()()]()()CCCfzgzdzfzdzgzdz（线性性）由积分定义得：)()()(2数乘性CCdzzfkdzzkf）证明2=+＃,(01)Cztit的参数方程为而C之长为2,根据估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例21d2,2CzzCii试证积分路径为连接到点的直线段.21,Cz因为在上连续且1212ti2141tdCs22xyo2i2i4.积分存在的条件及其计算法()(,)(,),(),().CfzuxyivxyCfzCfzdz若在光滑曲线上连续则沿可积即存在定理2.1)4()(CCCudyvdxivdyudxdzzf且Cidydxivu))((记忆kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz),(),(11令1111(,)(,)[(,)(,)]nnkkkkkkkknnkkkkkkkkuxvyivxuynkkkkknkkknyixivuzfS11))(()(证明0.当时，均是实函数的曲线积分(,)(,)(,)(,)!CCCCuxydxvxydyvxydxuxydy、、、存在故都(),(,),(,)fzCuxyvxyC连续连续在上在上1(),()cfzCfzdz结论：当是连续函数是光滑曲线时，一定存在。2()cfzdz结论：可以通过两个二元实函数的线积分来计算。1limlim()((,)(,))((,)(,))nnkknnkCCCCSfzuxydxvxydyivxydxuxydy()Cfzdz(){((),())'()((),())'()}{((),())'()(()())'()}Cfzdzuxtytxtvxtytytdtivxtytxtuxtytytdtdttztzf)(')]([dttiytxtytxvitytxu))(')(')]]}((),([[)](),([{:)()()(:ttiytxtzzC设光滑曲线由曲线积分的计算法得()[()]'()Cfzdzfztztdt（3.6）用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.例2.1解.43:,d的直线段从原点到点计算iCzzC直线方程为,10,4,3ttytx,)43(,tizC上在,d)43(dtizd)43(d102ttizzCd)43(102tti.2)43(2i)dd)((dCCyixiyxzz另解：因为AoxydddddCCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线C无关,43曲线的是怎样从原点连接到点所以不论iC.2)43(d2izzCAoxy(1)积分路径的参数方程为xyoi11i2xy),10()(2titttz,d)21(d,Rettiztz于是CzzdRe10d)21(titt1032322tit;3221i.11(2);1(1):,dRe2的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线为其中计算ixixyCzzC例2.2解xyoi11i2xy(2)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到1+i直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Retztz于是,dd,1Retizz于是CzzdRe10dtt10d1ti.21i积分路径不同,积分结果也可能不同.小结求积分的方法knkknczfdzzf1)(lim)()1(udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()]([)()3(40()(),,,()cfzDCDfzdz若解析单连通则11005'()(),,()(),()()zzzzfzDDfzdzFzFzfz若在内解析单连通则例2.3解.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzCzzzCnzxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire,dπ20innerizxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(110π20d)sin(cosninrin;0rzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,dπ20inneriCnzzzd)(110作业•P65•1（1）;