金融数学第二章均值-方差资产选择模型

1均值-方差准则第二章均值-方差资产选择模型组合投资理论概述最优组合系数最小方差集2第二章均值方差资产选择模型第一节均值-方差准则均值-方差准则假定投资者均为风险厌恶型,在具有相同的期望收益率的诸多投资机会中，总是选择收益率方差最小的投资机会；或者在具有相同的收益率方差的诸种投资机会中，总是选择期望收益率最大的投资机会。M-V准则3第二章均值方差资产选择模型M-LPV准则4在某些条件下期望-方差准则与随机占优准则是等价的。M-V准则与SSD准则的等价关系均值-方差准则与随机占优准则的关系证明第二章均值方差资产选择模型5()()GFruru即()()()()GFruruFrGr于是有()()rrFtdtGtdt第二章均值方差资产选择模型6第二章均值方差资产选择模型7第二章均值方差资产选择模型()()]uGtFtdt(2)(2)]uGuxFuxdx(2)(2)]uGutFutdt{[()(2)][()(2)]}0uGtGutFtFutdt8第二章均值方差资产选择模型9第二章均值方差资产选择模型M-LPV则与TSD准则的等价关系定理2.2对于绝对风险厌恶递减型投资者而言，M-LPV准则与TSD准则等价。证明略。值得注意的是，均值-方差准则的基本思想是以投资收益率的方差来作为投资风险的度量，这正是大多数主流经济学家所认同的,因此在本书后续的章节中，均采用这种度量方法.10第二节组合投资理论概述第二章均值方差资产选择模型组合向量11第二章均值方差资产选择模型解300000.650000Ax600001.250000Bx200000.450000Cx(0.6,1.2,0.4)X于是该投资的组合向量为12第二章均值方差资产选择模型证券组合收益率期望与方差1122()()()()PNNERxERxERxER2(){[()][()]}PREXREXRXREXR{[()][()]}XERERRERXXX11NNijijijxx11NNijijijijxx13第二章均值方差资产选择模型()0.510%0.58%9%PER12222()[0.515%0.512%20.50.50.415%12%]11.3%PR投资组合的期望收益率介于两种证券之间，但是风险却比两种证券都要低。这个简单的例子也说明了“不要将所有的鸡蛋放入同一个篮子”的原因。14第二章均值方差资产选择模型市场证券组合市场证券组合(MarketPortfolio)的概念是Fama于1968年提出来的，它是指包括市场上每一种证券的总的组合，其中每种证券的组合权重等于该种证券在市场交易中尚未清算部分的价值在市场上全部证券的总价值所占的比例。从理论上讲，市场证券组合是风险性证券的理想证券组合，每个“具有高度理性”的投资者都按一定的比例持有它。如假设股票市场只有A和B两种股票构成，且股票A的均衡市场价格为400万美元，股票B的均衡市场价格为600万美元，则显然任何“具有高度理性”的投资者都会按照2：3的比例投资A股和B股。市场证券组合是一个理论上的抽象概念，现实生活中并不存在。通常的做法是选取一些覆盖面较大的股票价格指数来代表它。如美国标准普尔500股指数和道琼斯价格指数等。15第二章均值方差资产选择模型投资组合线两证券的投资组合线12()()(1)()PERERER1222221212()[()(1)()2(1)()()]PRRRRR16第二章均值方差资产选择模型212()()()()pERERERER222221212()()(1)()2(1)()()PRRRRR可以得到以下来看几种特殊情况12222212()[()(1)()]PRRR212()()()()pERERERER投资组合为双曲线。17第二章均值方差资产选择模型222221212()()(1)()2(1)()()PRRRRR212[()(1)()]RR2212212()(){[()()]()}()()pERERRRRERER212212()()()[()()]()()()ppERERRRRRERER()()RER122212()()()[()()]()()()ppERERERRRERRR122212()()()[()()]()()()ppERERERRRERRR122212()()[0,()()]()()ERERRERRR1212()()()()ERERRR即进一步的，在坐标系下，即为直线它们是从点向右发射，斜率为的两条射线。18第二章均值方差资产选择模型122212()()()[()()]()()()ppERERERRRERRR122212()()()[()()]()()()ppERERERRRERRR和19第二章均值方差资产选择模型20第二章均值方差资产选择模型由图，至少可以得到两点结论：（1）投资组合线均通过A和B两点，且21第二章均值方差资产选择模型22第二章均值方差资产选择模型含债券和股票的两证券投资组合线(1)PARiR()(1)()PAERiER()(1)()PARR此时，证券组合的收益率为相应的收益率期望和方差分别为即()1()pARR代入期望收益率的等式中，得到该投资组合线为()()()()APpAERiERiRR23第二章均值方差资产选择模型组合线是一条如图所示的射线OB24第二章均值方差资产选择模型两种以上证券的投资组合线1122123()()()(1)()PERxERxERxxER222222211221233()()()(1)()PRxRxRxxR1212112132132322(1)2(1)xxxxxxxx25第二章均值方差资产选择模型31213232()*()*()()()()ERrERrxxERERERER26第二章均值方差资产选择模型分散投资分散投资就是投资者将资金有选择的投放到很多彼此间相关程度很低的高质量（收益高、风险小）的证券上的一种投资方式。211()NNPijijijijRxx11NNijijijxx21[]Niiix1()NPiiiRx=即12111PNRRRRNNN22222122221111()()()()PNRRRRNNNN1()PRN即27第二章均值方差资产选择模型理论上，只要证券的种类数非常大，投资组合的风险就可以完全消除。然而，事实并非如此。美国学者Home根据多人的实验，绘制了一条反映投资组合风险与其包含证券种类关系的曲线，如图所示。组合的风险＝系统风险＋非系统风险随着证券种类数的增多非系统性风险可以逐渐减少，甚至是消除，但是系统风险却不可消除。人们多次试验的结果一般认为：一个较好的组合至少应包含10种证券，以15种为好。28第二章均值方差资产选择模型第三节最优组合系数背景知识问题：在不考虑收益的情况下要求投资组合的风险最小，即具有最小风险的组合(最优组合)的组合向量求解问题。1()()NjjijiiaXaxaxx即()()iiaXXaaxx11()()NNkjkjjkiiXAXaaxxxx2()iiiijjijijaxaax()()dXAXAAXdX即()2dXAXAXdX29第二章均值方差资产选择模型最优组合系数的建模和求解2min()..1pRXXstiX这是一个条件极值问题，可以用Lagrange方法来求解。构造Lagrange函数：()(1)LXXXiX可以得到[]()(1)20()10XXLXiXXiXXXLXiX解得112Xi11122()iiii11112iXiii进而30第二章均值方差资产选择模型11112iXiii由2()pRXX1111()()iiiiii1112()iiii11ii即211()pRii31第二章均值方差资产选择模型证券组合收益率的协方差矩阵为解220.02250.0072(0.15)0.150.120.40.00720.01440.150.120.4(0.12)因此于是最优组合系数为相应的组合收益率标准差为32第二章均值方差资产选择模型值得注意的是，投资组合的风险是不能无限减少的，它有个下限，根据可以得到以下推论：33第二章均值方差资产选择模型不允许卖空条件下的最优组合系数在不允许卖空条件下最优组合系数的求解模型变成如下形式讨论N=2的情形于是34第二章均值方差资产选择模型由于故要，需要即成立。合起来即分三种情况讨论：则于是35第二章均值方差资产选择模型此时该组合收益率的标准差是以风险较小的证券(证券2)的标准差为下限的。36第二章均值方差资产选择模型对应的投资组合最小风险为综合（1）（2）（3）的讨论，当N=2时，最优投资组合系数为37第二章均值方差资产选择模型第四节最小方差集考察在既定收益的情况下，最小方差的投资组合，和在方差给定的情况下，具有最大期望收益率的投资组合，如此就产生了最小方差集。最小方差集的导出最小方差集的定义最小方差集的建模与求解38第二章均值方差资产选择模型构造Lagrange函数由Lagrange条件极值定理有求解（2）式，可得由（3）（4）式，可知将（5）式代入到（6）式得代入（7）式，得到代入(5)式，可得相应的最小方差为39第二章均值方差资产选择模型最小方差集的性质40第二章均值方差资产选择模型我们发现有效组合抛物线顶点G点之上的部分，它是（1）式的对偶问题的解：当给定某一方差水平时，在对应这个方差水平的诸多投资组合中具有最大期望收益率的组合，我们通常称这样的组合为有效组合。解得最小方差集中方差最小的组合称为绝对最小方差组合,即为图中的G点。且容易得到在G点证明因此41第二章均值方差资产选择模型性质3（两基金定理）每一个有效组合的系数向量均可以表示成其他两个均值不一样的有效组合的系数向量的线性组合。证明有效组合系数向量可以表示成不妨设显然B矩阵为一常数矩阵。则有于是42第二章均值方差资产选择模型两基金定理的重要性在于，只要找到两个有效组合，就可以找到所有的有效组合。（3）利用两基金定理，找到所有的有效组合43第二章均值方差资产选择模型含有无风险资产的有效组合曲线段GSL是原来N种风险资产投资组合最小方差集的上侧部分，G点代表绝对最小方差组合。于是，新的有效组合曲线就由三个部分组成：44第二章均值方差资产选择模型于是，含无风险资产的有效组合的均值的表达式为其中点S和L的坐标有下式给出45第二章均值方差资产选择模型考虑一种特殊的情形，就是贷款利率与存款利率相同，那么上图中的S和L点重合，此时的有效组合图形为：直线iME称为资本市场线（CapitalMarketLine，简称CML），它的方程为：M点就是前面我们所提到的市场证券组合，它是基于市场上所有具有相同收益-风险权衡关系的投资者的选择综合而成，或者说投资者持有的风险证券的组合系数均一样，当然市场证券组合也是有效组合。资本市