沪教版初中数学知识点

第九章整式第一节整式的概念9.1字母表示数9.2代数式一、代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。二、代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。5、代数式不能含有“=、≠、、、≥、≤”符号。9.3代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。2、若带入的值是负数时，应添上括号。3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”.4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。9.4整式1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母，也是单项式。2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数6、整式：单项式和多项式统称为整式。第二节整式的加减9.5合并同类项1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。9.6整式的加减1、去括号法则：（1）括号前面是＋号，去掉＋号和括号，括号里各项的不变号；+（ax-by+c）=ax-by+c（2）括号前面是－号，去掉－号和括号，括号里的各项都变号。-（ax-by+c）=-ax+by-c2、添括号法则（1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；ax-by+c=+（ax-by+c）（2）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。ax-by+c=-（-ax+by-c）第三节整式的乘法9.7同底数幂的乘法同底数幂的乘法aman=am+n(m、n都是正整数)。同底数幂相乘，底数不变，指数相加9.8幂的乘方（am）n=amn(m、n都是正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘9.9积的乘方（ab）n=anbn(n都是正整数)积的乘方等于各因式乘方的积注意：1、a0=1（a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1。2、a-p=1/ap(a≠0,p是正整数)任何一个不等零的数的-p（p是正整数）指数幂，等这个数的p指数幂的倒数。9.10整式的乘法：⑴、单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。⑵、单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即ａ（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ａｎ。注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。⑶、多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。第四节乘法公式9.11平方差公式1、内容：（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²2、意义：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。3、特征：Ⅰ、左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；Ⅱ、右边是乘式中两项的平方差；Ⅲ、公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。4、几何意义：平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。5、拓展：Ⅰ、立方和公式：（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）＝ａ³＋ｂ³；Ⅱ、立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）＝ａ³－ｂ³。（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ²＋…＋ａ²ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ。9.12完全平方公式：1、内容：（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ；（ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ。2、意义：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。3、特征：Ⅰ、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾平方，积的２倍在中央。”Ⅱ、公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。4、推广：Ⅰ.（ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc；Ⅱ.（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²；Ⅲ.（ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ²。第五节因式分解一、因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。二、注意：1、因式分解的要求：Ⅰ.结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；Ⅱ.每个因式必须是整式；Ⅲ.各因式要分解到不能分解为止。2、因式分解与整式乘法的关系：是两种不同的变形过程，即互逆关系。9.13提取公因式法：1、提公因式法分解因式：ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。2、确定公因式方法：系数：取多项式各项系数的最大公约数。字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。9.14公式法1、利用公式法分解因式：Ⅰ.平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。Ⅱ.完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²；ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²。Ⅲ.立方和与立方差公式：ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）；ａ³－ｂ³＝（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）。2、注意：（1）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。（2）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。9.15十字相乘法十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。即ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。9.16分组分解法Ⅰ、将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。Ⅱ、适用范围：适合四项以上的多项式的分解。分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。其他方法：求根公式法：若aｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的两根是ｘ１、ｘ２，ａｘ2+ｂｘ+ｃ=ａ（ｘ-ｘ１）（ｘ-ｘ２）。因式分解的一般步骤及注意问题：①、对多项式各项有公因式时，应先提供因式。②、多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。第六节整式的除法9.17同底数幂的除法同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0,mn都是正整数，且m＞n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。注意：1、a0=1（a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1。2、a-p=1/ap(a≠0,p是正整数)任何一个不等零的数的-p（p是正整数）指数幂，等这个数的p指数幂的倒数。9.18单项式除以单项式：单项式与单项式相除的法则：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：1、两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。2、只在被除式里含有的字母不不要漏掉。9.19多项式与单项式相除：多项式与单项式相除的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（ｍａ+ｍｂ+ｍｃ+ｄｍ）÷ｍ=ａｍ÷ｍ+ｂｍ÷ｍ+ｃｍ÷ｍ+ｄｍ÷ｍ注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。整式的混合运算：关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。※内容整理第十章分式第一节分式的意义10.1分式的意义两个整式A/B相除，即A÷B时，可以表示为A/B。如果B中含有字母，那么A/B叫做分式。A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义。10.2分式的基本性质整式和分式统称为有理式：整式即有理式分式分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：CBCABACBCABA（A，B，C为整式，且B、C≠0）1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。2、分式的约分步骤：①、如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式，将它们的公因式约去。②、分式的分子和分母都是将分子和分母分别，再将公因式约去。注：公因式的提取方法：取分子和分母系数的，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式。3、一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。4、通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。5、分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。注：最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的及单独字母的幂的乘积。注：(1)、约分和通分的依据都是分式的基本性质。(2)、分式的约分和通分都是互逆运算过程。第二节分式的运算10.3、分式的运算：1、分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，用字母表示为：bdacdcba（b≠0，d≠0）2、分式的除法法则：（1）、两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，如bcaddcba（2）、除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数，如cdbadcba异分母分式通分时，关键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。10.4分式的加减1、同分母分式加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减。用字母表示为：cbacbca2、异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：bdbcaddcba10.5分式方程1、分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的解法:Ⅰ、去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；Ⅱ、按解整式方程的步骤求出未知数的值；Ⅲ、验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。3、可以化为一元二次方程的分式方程10.6整数指数幂及其运算※内容整理第十一章图形的运动第一节图形的平移1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移（Translation）。平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。关键：a.平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。2、平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。3、简单的平移作图：平移作图要注意：①、方向；②、距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。第二节图形的旋转1、旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转（Circumrotat