4-1 某些预备知识

第四章利率期货利率期货合约是标的资产价格仅依赖于利率水平的期货合约。对冲某公司的利率风险暴露比对冲诸如铜价之类的风险暴露更复杂。这是因为为了完全描述利率水平，需要整个利率的期限结构，而铜价可以由单一数字来描述。希望对冲利率风险暴露的公司必须确定它所要求对冲的期限，同时还必须确定它暴露于利率风险的期限。然后它还必须寻找合适的利率期货合约以获得相应的对冲。§1某些预备知识一、即期和远期利率n年期即期利率是从今天开始计算并持续n年期限的投资的利率。因此，3年期即期利率是投资持续3年的利率，5年期即期利率是投资持续5年的利率等等。考虑的投资应该是中间没有支付的“纯粹”的n年投资。这意味着所有的利息和本金在n年末支付给投资者。n年即期利率也指的是n年期零息票收益率（n-yearzero—couponyield）。由定义可知，该收益率正好是不付息票债券的收益率。远期利率是由当前即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率。年（n）n年期投资的即期利率第n年的远期利率110.0210.511.0310.811.4411.011.6511.111.5表4.1远期利率的计算计算方式如下：我们假设即期利率如表4.1的第二列所示。这些即期利率以连续复利计息。因此，一年期10％年利率意味着今天投资$100，一年后投资者收到100exp{0.10}=$110.52；二年期10.5％年利率意味着今天投资$l00，二年后投资者收到100exp{0.105×2}=$123.17；依此类推。表4.1中第二年的远期利率是年利率11％。这是一个即期利率隐含的第一年末至第二年末之间期限的利率。它可以通过一年期10％年即期利率和二年期10.5％年即期利率计算出来。正是这个第二年的利率，与第一年10％利率组合在一起，得到整个二年期间10.5％的年利率。为证明正确答案是11％，假设投资$100，则第一年10％利率和第二年11％利率在第二年末收益为：100exp{0.10}×exp{0.11}=$123.37二年期10.5％年利率投资的收益为：100exp{0.105×2}这个结果也是$123.37。这个例子说明了一个一般的结论：即当这些利率是连续复利，并且将相互衔接时期的利率组合在一起时，整个期间的等价利率是这些利率的简单算术平均（10.5％是10％和11％的平均值）。当这些利率不是连续复利时，这个结果近似成立。第三年的远期利率是二年期10.5％年即期利率与三年期10.8％年即期利率隐含的利率，计算的结果是11.4％年利率。其它的远期利率可用类似的方法计算，列在表4.1中的第三列。一般来说，如果r是T年期的即期利率，r*是T*年期的即期利率，且T*＞T，T*-T期间的远期利率如下：TTrTTrTTtTrtTrr)()(ˆ为说明这个公式，我们从表4.1中数据计算第四年远期利率。T=3，T*=4，r=0.108，且r*=0.11，公式给出116.0ˆr二、零息票收益率曲线零息票收益率曲线（zero—couponyieldcurve）是表示即期利率（即零息票收益率）与到期日之间关系的曲线。图4.1表示了表4.1中数据的零息票收益率曲线。图4.1表4.1中数据的零息票收益率曲线区分零息票收益率曲线与附息票债券收益率曲线是很重要的。在图4.1所示的情况下，收益率曲线是向上倾斜的，零息票收益率曲线总是在附息票债券收益率的上面。这是因为如下的情况影响了附息票债券收益率：在债券到期前，投资者获得一些利息收入，对应于这些利息收入的相应贴现率低于最后支付日期相应的贴现率。分析家有时也考虑远期利率与远期合约期限之间的关系曲线。因此远期利率的期限可以是3个月期、6个月期或其它任何便利的时间期限。式（4.1）可重写为：TTTrrrr)(ˆ这表明，如果收益率曲线是向上倾斜，r*r,于是rrrˆ所以远期利率高于零息票收益率。取T*趋近于T的极限（所以r*趋近于r），我们看到在T时刻开始的一个相当短期间的远期利率是：TrTr这就是所谓的时刻T的瞬态远期利率（instantaneousforwardrate）。图4.2是当收益率曲线向上倾斜时的零息票收益率曲线、附息票债券的收益率曲线和远期利率曲线。图4.2当收益率曲线是向上倾斜时的情况图4.3当收益率曲线是向下倾斜时的情况三、零息票收益率曲线的确定实际中，即期利率（或零息票收益率）并不总是能够直接观察到的。能够观察到的只是附息票债券的价格。因此，一个重要的问题是如何从附息票债券的价格得出零息票收益率曲线。一个通常的方法就是所谓的息票剥率（bootstrap）方法。为说明这个方法，考虑表4.2中6个债券价格的数据。表4.2息票剥率方法的数据债券本金（$）到期期限（年）年息票*（$）债券价格（$）1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.61002.751099.8*注：假设每6个月支付所列息票数额的一半由于前3个债券不付息票，对应这些债券期限的连续复利的即期利率可以容易地计算出来。第一个债券3个月期限，价格97.5，其收益为2.5。连续复利的3个月期利率是：1012.0)5.975.21ln(4)1ln(1mRmR或每年10.12%。类似地，6个月期是：1047.0)9.941.51ln(2)1ln(1mRmR或每年10.47%。1年期是：1054.0)90101ln()1ln(1mRmR或每年10.54%。第四个债券期限1.5年。按如下方式支付：6个月期后$41年期后$41.5年后$104从前面的计算中，我们知道在6个月末支付所用的贴现率是10.47%，在1年末支付所用的贴现率是10.54％。我们也知道债券的价格$96必须等于债券持有人收到的所有收人的现值。设R表示1.5年期的即期利率，因此：4exp{-0.1047×0.5}+4exp{-0.1054}+104exp{-1.5R}=96化简为：Exp{-1.5R}=0.85196或1068.01585196.0lnR因此，1.5年期的即期利率是10.68%。这是唯一的与6个月期、1年期即期利率及表4.2中数据一致的即期利率。运用6个月期、1年期、1.5年期即期利率和表4.2中第五个债券的信息，可以计算出2年期的即期利率。如果R表示2年期的的即期利率：6exp{-0.1047×0.5}+6exp{-0.1054×1.0}+6exp{-0.1068×1.5}+106exp{-2R}=101.6从以上可得出R=0.1081，或10.81%。至今，我们已经求出5个对应不同期限的零息票收益率曲线上的点。利用线性插值可以得到对应其它中间期限的点。第六个债券的现金流如下：3个月期后$59个月期后$51.25年后$51.75年后$52.25年后$52.75年后$105对应于第一个现金流的贴现率已经求出为10.12％。利用线性插值方法，求出以下三个现金流的贴现率分别为10.505％，10.61％和10.745％。因此前四个现金流的现值为：5exp{-0.1012×0.25}+5exp{-0.10505×0.75}+5exp{-0.1061×1.25}+5exp{-0.10745×1.75}=18.018最后两个现金流的现值为：99.8-18.018=81.782设2.75年期的即期利率为R，利用线性插值，2.25年期即期利率为：3321081.0R因此，R的方程为：5exp{-2.25×（0.0721+R/3）}+105exp{-2.75×R}=81.782利用试错法或诸如牛顿法的数值方法解以上方程，得出R=0.1087。2.75年期的即期利率为10.87％。从表4.2中六个债券价格中可以描出图4.4中的零息票收益率曲线。如果给出更长期限债券，可获得更完整的期限结构。图4.4表4.2中数据的零息票收益率曲线四、期限结构理论利率的期限结构是指不存在违约风险而不同期限的零息债券到期收益率之间的关系。零息债券到期收益率也被称为即期利率。而由各种不同期限零息债券到期收益率所构成的曲线为到期收益率曲线。传统利率期限结构有三种不同的理论：预期理论、风险溢价理论、市场分割理论，以及对市场分割理论的补充——流动性偏好理论。（一）预期理论（ex-pectationstheory）该理论认为对应某一确定时期的远期利率应该等于预期的未来的那个期限的即期利率。也就是：长期证券到期收益率等于现行短期利率（spotinterestrate）和未来预期短期利率的几何平均。预期理论有以下假设：（1）市场上的各种证券没有违约风险；（2）全部投资者都是风险中心者，服从于利润最大化原则；（3）证券买卖没有交易成本；（4）投资者都能准确预测未来的利率；（5）投资者对证券不存在期限偏好。于是：)1()1)(1()1(21enenniiiReneniiiR,,,21分别为期限为n年的证券的收益率、当期短期利率（如1年或半年的利率）、第2期的单期预期利率以及第n期的单期预期利率。当n=2时112122)1)(1()1(iorRiiRe则1)1()1(1222RRie当n=3时)1)(1)(1()1(32133eeiiiR1)1()1(22333RRie当期限为n时1)1()1(11nnnnenRRi也就是说，只要知道相邻两期零息债券的到期收益率，就可以计算出单期远期利率。即投资者如果知道各种期限的收益率，他就可以知道未来短期利率的预测值。如果R2R1，也就是说收益率曲线下降，那么短期预测利率也下降，即12Rie事实上)1)(1()1)(1()1(212122eeiRiiR)1()1()1()1(2212RiRRe由于R2R1，所以1)1()1()1()1(1222RRRie从而122111RRie即12Rie一般情况下)1()1)(1()1(21enenniiiR)1()1)(1()1(12111enenniiiR两式相除得)1()1()1()1()1(111111nnnnnnnnnenRRRRRi111)1()1(11nnnnnenRRRi如果收益率曲线向右上方倾斜，即nnRR1则nnnnRR)1()1(11从而ennniRR1到期收益率曲线向右上方倾斜，预期短期利率上升，不要理解为未来预期短期利率不断提高。预期短期利率有时会低于前一期的短期利率。在经济运行中，人们经常观察到在经济扩张一开始，到期收益率曲线斜率趋于增大，而在经济扩张的末尾到期收益率曲线斜率趋于减小。在实证研究中，人们也往往利用长短期利率的差别来解释或者预测未来的经济增长。（二）风险溢价理论由于不同期限证券的利率风险是不同的，投资者也不完全是风险中立者，有些是风险规避者，而有些则是风险偏好者，投资者为了降低利率风险，往往会舍弃预期收益。在这种情况下，收益率曲线会反应如下内容：第一，投资者对未来短期利率的预期；第二，对利率风险低的债券的需求较大；第三，债券发行者为了节省兑现债券的麻烦而愿意增加长期债券的发行，即长期债券的供给较大，价格低，收益率高。因此，从风险的角度考虑，短期债券的利率风险较低，长期债券的利率风险较高，为鼓励投资者购买长期债券，必须给投资者以贴水，这实际上是风险溢价，属于流动性和再投资收益率双重风险的溢价。（三）市场分割理论（marketsegmentationtheory）市场分割理论又被称为期限偏好理论，是莫迪利安尼（Modigliani）和萨奇（Sutch）于1966年提出的。该理论认为短期、中期和长期利率之间没有什么关系。不同的机构投资于不同期限的债券，并不转换期限。短期利率由短期债券市场的供求关系来决定，中期利率由中期债券市场的供求关系来决定，等等。（四）流动性偏好理论（liquidit