10定积分的简单应用导学案

110、定积分的简单应用一、自主学习，明确目标1、会用定积分解决平面图形的面积2、会用定积分解决变速直线的路程3、会用定积分解决变力做功4、如何将实际问题化为定积分问题二、研讨互动，问题生成1、常见图形面积与定积分的关系（1）如图1，当0)(xf时，badxx)(0，所以S=；（2）如图2，当0)(xf时，badxx)(0，所以S=|badxxf|)(；（3）如图3，当cxa时，0)(xf,cadxx)(0，bxc时，0)(xf，bcdxxf)(0，所以S=|cabcdxxfdxxf)(|)(+；（4）如图4，在公共积分区间[a,b]上，当f1(x)f2(x)时，曲边梯形的面积为badxxfxfS))()((21；2、一物体沿直线以23tv（t单位：s,v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3s~6s间的运动路程为（）A．46mB．46.5mC．87mD．47m3、以初速40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v=40-10t2，则此物体达到最高时的高度为（）A．m3160B．m380C．m340D．m3204、一物体在力F(x)=3x2-2x+5（力单位：N，位移单位：m）作用力下，沿与力F（x）相同的方向由x=5m直线运动到x=10m处做的功是（）A．925JB．850JC．825JD．800J三、合作探究，问题解决。例1：计算由y2=x，y=x2所围成的图形的面积。例2：汽车以36km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度2m/s2刹车，求从开始刹车到停车，汽车走过的路程。例3：有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为v(t)=8t-2t2（速度的正方向与x轴正方向一致）。求：（1）P从原点出发，当t=3时，求离开原点的路程。（2）当t=5时，P点的位置。（3）从t=0到t=5时，点P经过的路程。（4）P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值。2例4：一物体在力F(x)（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向运动，力一位移曲线如图所示，求该物体从x=0处运动到x=4（单位：m）处，力F(x)作的功。四、经典示例，巩固提高。例：求曲线y=sinx与直线2x,45x,y=0所围成图形的面积。五、要点归纳，反思总结。1、利用定积分求曲线所围成平面图形面积的步骤2、路程、位移计算公式3、变力做功的方法合成311、合情推理一、自主学习，明确目标。知道什么是合情推理，能利用归纳和类比进行简单的推理。二、研讨互动，问题生成。1、下列说法正确的是（）A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误2、已知a1=1，an+1an，且（an+1-an）2-2(an+1+an)+1=0，计算a2，a3，猜想an=（）A．nB．n2C．n3D．nn33、下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得凸n边形的内角和是（n-2）·180°。A．①②B．①③④C．①②④D．②④4、若数列na的前8项的值各异，且an+8=an，对任意的nN*都成立，则下列数列中可取遍na的前8项值的数列为（）A．12kaB．13kaC．14kaD．16ka5、如图2-1-1中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有根；第n个图形中，火柴棒有根。6、若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积)(21cbarS，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V=。三、合作探究，问题解决。例1：已知数列na的第一项a1=1，且3,2,1(11naaannn……），试归纳出这个数列的通项公式。例2：已知：等差数列na的公差为d，前n项和为Sn，有如下性质：（1）an=am+(n-m)·d；（2）若m+n=p+q，其中，m，n，p，qN*，则am+an=ap+aq；（3）若m+n=2p，m，n，pN*，则am+an=2ap；（4）Sn，S2n-Sn，S3n-S2n构成等差数列。类比上述性质，在等比数列nb中，写出相类似的性质。4例3、将正整数排成如图2—1—2所示的螺旋状：第一个拐弯处的数是2，第2个拐弯处的数是3，第三个拐弯处的数是5，……，判断第20个及第25个拐弯处的数各是多少。例4：三角形与四面体有下列共同的性质。（1）三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形。（2）三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形边上各点连线所形成的图形。通过类比推理，完成下表：三角形四面体三角形两边之和大于第三边三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三角形的面积rcbaS）（21，r力三角形内切圆的半径四、经典示例，巩固提高。例：观察下列等式13=1213+12=3213+23+33=6213+23+33+43=102…可归纳出的结论是五、要点归纳，反思总结1、归纳推理的一般步骤：2、类比推理的一般步骤：3、常见的类比对象：（1）平面几何与立体几何平面几何立体几何图形点点、线线面面体数量边长面积角二面角面积体积（2）其它可以类比的对象。①实数相等关系与不等关系；方程与不等式。②实数的运算律与向量的运算律。③等差数列与等比数列的定义及性质。④三种圆锥曲线的定义与性质。⑤正弦函数、余弦函数的性质。⑥不同类知识点之间的相似性质和结论。512、演译推理一、自主学习，明确目标。1、知道什么是演译推理，能利用“三段论”进行简单的推理。2、知道合情推理与演译推理之间的联系与差别二、研讨互动，问题生成。1、“三段论”是演译推理的一般模式，包括：（1）大前提：已知的；（2）小前提：所研究的；（3）结论：根据一般推理，对特殊情况做出的；2、“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），若奇数（S）是9的倍数（M），故该奇数（S）是3的倍数”，上述推理是（）A．小前提错误B．大前提错误C．结论错误D．正确的3、《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足。”上述推理用的是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论4、给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；②设a，bR，且ab≠0，若1ab，则1ba；③若xxf2log)(，则|)(|xf是偶函数。其中，不正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、合作探究，问题解决。例1：用三段论的形式写出下列命题。（1）0.332是有理数；（2）)(sinRxxy是周期函数；（3）Rt△ABC的内角和为180°。例2：在△ABC中，ACBC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD∠BCD.例3：已知数列na满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(nN+).（1）证明：数列nnaa1是等比数列；（2）求数列na的通项公式；（3）若数列nb满足114b124b……14nb=(an+1)bn(nN+)，证明：nb是等差数列。6例4：数列na的前n项和为Sn，数列nb中，b1=a1，bn=an-an-1(n≥2),若an+Sn=n，（1）设cn=an-1，求证：数列nc是等比数列；（2）求数列nb的通项公形式。四、经典示例，巩固提高。已知函数xaxy有如下性质：如果常数a0，那么该函数在（0，a）上是减函数，在[a+）上是增函数。（1）如果函数)0(2xxxyb在（0，4]上是减函数，在[4，+）上是增函数，求b的值；（2）设常数c[1，4]，求函数)21()(xxcxxf的最大值和最小值；（3）当n是正整数时，研究函数)0()(cxcxxgnn的单调性，并说明理由。五、要点归纳，反思总结。1、演译推理的特点。2、合情推理与常驻译推理的区别与联系。