11因式分解的应用与探究(带答案)

联邦理科八年级寒假1第十一节因式分解的应用与探究例1（构造求值型）已知x＋y＝1，那么221122xxyy的值为；例2（构造求值型）已知x2＋2x＋y2＋6y＋10＝0，求xy的值．例3（构造求值型）已知：a＝10000，b＝9999，求a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9的值。例4（构造求值型）计算：20191832222222；例5（探索规律型）观察下列各式：12＋（1×2）2＋22＝9＝32，22＋（2×3）2＋32＝49＝72，32＋（3×4）2＋42＝169＝132，……你发现了什么规律？请用含有n（n为正整数）的等式表示出来，并说明其中的道理。例6（探索规律型）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＝（1＋x）［1＋x＋x（1＋x）］＝（1＋x）2（1＋x）＝（1＋x）3⑴上述分解因式的方法是，共应用了次；⑵若分解1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x）2004，则需应用上述方法次，结果是；联邦理科八年级寒假2⑶分解因式：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x）n（n为正整数）.例7（开放创新型）多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个．．你认为正确的即可）；例8（开放创新型）请你写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.例9（数形结合型）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）（A）))((22bababa（B）2222)(bababa（C）2222)(bababa（D）222))(2(babababa例10（数形结合型）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式；例11（数形结合型）请你观察右下方图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是；例12（数形结合型）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，则表中所列四种方案能拼成边长为（a＋b）的正方形的是（）⑴⑵⑶（A）112（B）111（C）121（D）211ababbaaabbxxyyx－yx－yaa⑴bb⑵ba⑶卡片数量（张）方案联邦理科八年级寒假3例13（数形结合型）如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式；例14（数形结合型）给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，下载相应的种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积等于a2＋5ab＋4b2，并根据你拼成的图形分解多项式a2＋5ab＋4b2．课堂练习一、选择题：1．计算100101)2()2(结果为（）（A）2100（B）－2（C）0（D）－21002．已知mxx24是一个关于x的完全平方式，则m的值为（）（A）4（B）±4（C）161（D）163．已知mxx142是一个关于x的完全平方式，则m的值为（）（A）4（B）－4（C）16（D）±44．设m＝2002＋2001×2002＋2001×20022＋…＋2001×20022000，n＝20022001，则正确的关系是（）（A）m＝n×2001（B）m＝n（C）m＝n÷2002（D）m＝n＋2002二、填空题：5．已知x、y为正整数，且x2＝y2＋37，则x＝；6．方程x2－y2＝29的整数解为；7．有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图1）；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图2），则这种小球最少有个；图1图2ababbabaabab联邦理科八年级寒假4三、解答题：8．计算：20032002200220002002220022323；9．求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．10．观察：1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，…⑴请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；⑵根据⑴，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果（用一个最简式子表示）．11．一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数．若a＝20022＋20022×20032＋20032，求证：a是一个完全平方数，并写出a的平方根．12．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩的年龄的平方差是195……”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195。”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有余兴，不妨把第4对人的年龄也找出来。联邦理科八年级寒假5答案:一、选择题：1．【桥西01～02】计算100101)2()2(结果为（D）（A）2100（B）－2（C）0（D）－21002．已知mxx24是一个关于x的完全平方式，则m的值为（C）（A）4（B）±4（C）161（D）163．已知mxx142是一个关于x的完全平方式，则m的值为（D）（A）4（B）－4（C）16（D）±44．【重庆02竞赛】设m＝2002＋2001×2002＋2001×20022＋…＋2001×20022000，n＝20022001，则正确的关系是（B）（A）m＝n×2001（B）m＝n（C）m＝n÷2002（D）m＝n＋2002二、填空题：5．【桥西02～03】已知x、y为正整数，且x2＝y2＋37，则x＝19；6．方程x2－y2＝29的整数解为1415yx，1415yx；7．有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图1）；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图2），则这种小球最少有36个；图1图2三、解答题：8．计算：20032002200220002002220022323；联邦理科八年级寒假6解：原式＝20032002200220002002220022323＝20032003200220002000200222＝20032000)12002(2003)12002(2000229．求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．解：原式＝（x－2y）2＋（y－1）2＋2003，∴当x＝2，y＝1时，原式取得最小值2003．10．【黄冈02竞赛，桥东03～04】观察：1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，…⑴请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；⑵根据⑴，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果（用一个最简式子表示）．解：⑴结论：n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1＝（n2＋3n＋1）2，证明：n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1＝（n2＋3n）（n2＋3n＋2）＋1＝（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1＝（n2＋3n＋1）2；⑵2000×2001×2002×2003＋1＝（20002＋3×2000＋1）2＝40060012；11．一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数．若a＝20022＋20022×20032＋20032，求证：a是一个完全平方数，并写出a的平方根．解：先从较小的数字探索：a1＝12＋12×22＋22＝32＝（1×2＋1）2，a2＝22＋22×32＋32＝72＝（2×3＋1）2，a3＝32＋32×42＋42＝132＝（3×4＋1）2，a4＝42＋42×52＋52＝212＝（4×5＋1）2，…于是猜想：a＝20022＋20022×20032＋20032＝（2002×2003＋1）2＝（4010007）2，证明采用配方法（略）．推广到一般，若n是正整数，则a＝n2＋n2（n＋1）2＋（n＋1）2是一个完全平方数［n（n＋1）＋1］2．解题策略：猜想是数学中重要的思想和方法之一。较大的数字问题可仿较小数字问题来处理，实现了以简驭繁的策略。在解题时，如果你不能解决所提出的问题，可先解决“一个与此有关的问题”。你能不能联邦理科八年级寒假7想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能否解决这个问题的一部分？这就是数学家解题时的“绝招”。12．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩的年龄的平方差是195……”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195。”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有余兴，不妨把第4对人的年龄也找出来。解：由x2－y2＝195＝3×5×13，可得x＋y＝195x－y＝1，x＋y＝65x－y＝3，x＋y＝39x－y＝5，x＋y＝15x－y＝13，解得，x＝98y＝97，x＝34y＝31，x＝22y＝17，x＝14y＝1