11数学基本知识

希腊字母的读法αΑalpha['ælfa]βΒbeta['bi:ta/'beita]γΓgamma['gæma]δΔdelta['delta]εΕepsilon['epsilan/ep'sailan]ζΖzeta['zi:ta]ηΗeta['i:ta/'eita]θΘtheta['θita]ιΙiota[ai'outa]κΚkappa['kæpa]λΛlamda['læmda]μΜmu[mju:]νΝnu[nju:]ξΞxi[ksai/gzai/zai]οΟomicron[ou'maikran]πΠpi[pai]ρΡrho[rou]σΣsigma['sigma]τΤtau[tau]υΥupsilon['ju:psilon/ju:p'sailan]o是反cφΦphi[fai]χΧchi[kai]ψΨpsi[psi:]ωΩomega['oumiga/ou'mi:ga]前言高等数学是理、工、农、医以及经济类、管理类、乃至文史类等众多专业设立的一门主干基础课。在学习这门课之前，先向大家介绍一下数学的基本知识，学习这门课的重要性，提出希望和要求，有助于大家学好这门课。一．数学基本知识1．数学的内容：•初等数学•高等数学初等数学基本上是常量的数学，主要包含两部分：几何学与代数学．几何学：研究空间形式的学科．代数学：研究数量关系的学科．高等数学含有非常丰富的内容，以我们所学为限，它主要包含以下基础部分：•微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题．•解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何的部分内容安排在中学.•线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题．•概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理．2．数学发展简史•数学的发展史大致可以分为五个阶段：•第一阶段——数学萌芽时期这个时期从远古时代起，止于公元前5世纪。在这个时期里，人类建立了最基本的数学概念，包括数的概念、数的运算方法，几何有了初步发展。第二阶段——常量数学时期（初等数学时期）•公元前５世纪直到１７世纪，持续了两千年左右。这个时期逐渐形成了算术、几何、代数、三角等主要分支，其成果构成现在中学数学的主要内容。代表性的成就希腊数学•毕达哥拉斯学派与“万物皆数”•芝诺悖论与巧辩学派（二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说）、柏拉图学派•欧几里得与他的《几何原本》•阿基米德的数学成就：《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》及《力的平衡》等阿拉伯数学•花拉子米：《代数学》•阿布·瓦法：三角学（把所有三角线都定在同一个圆中）•纳西尔丁·图西：《论四边形》中国古代数学的发展•汉唐时期——中国传统数学体系的形成“算经十书”：《周髀（bi）算经》与勾股定理、《九章算术》与刘徽（割圆术）、《缀术》与祖氏父子（圆周率、祖暅原理）、《海岛算经》、《孙子算经》与孙子问题、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》。宋元时期——中国传统数学体系的兴盛•贾宪《黄帝九章算术细草》与帕斯卡三角•秦九韶《数书九章》与中国剩余定理•李冶《测圆海镜》、《益古演段》与天元术•朱世杰《算学启蒙》、《四元玉鉴》与四元术•沈括《梦溪笔谈》与隙积术、会圆术、棋局都数等明清时期——中国传统数学的衰落与复苏•吴敬积《九章算法类比大全》•程大位《直指算法统宗》与珠算的普及•意大利传教士利玛窦翻译引入《几何原本》等西方数学著作•梅文鼎《梅氏历算全书》•王锡《圜解》第三阶段——变量数学时期（高等数学时期）•变量数学建立的第一个决定性步骤是1637年笛卡尔的著作“几何学”的出现，它奠定了解析几何的基础，同时使变量进入了数学，使运动进入了数学。数学转向研究变量了。•变量数学建立的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼兹在17世纪后半叶建立了微积分。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。•这个时期，还产生另外一些重要的数学分支：级数理论、微分方程、解析几何、高等代数和概率论等，这些内容是大学本科学习的主要内容。第四阶段——近代数学时期•这个时期始于19世纪中叶，止于20世纪40年代。在这个时期里，数学研究的对象被推广，并引起概念本身的重大突破。•几何：射影空间、欧氏空间、黎曼空间、拓扑空间……。•代数：群论、线性代数……•分析：实变函数论、函数逼近论，积分方程论，泛函分析……第五阶段——现代数学时期•这个时期以20世纪40年代电子计算机的发明为标志而开始的。应用数学涌现出种类繁多的新分支，如对策论、运筹学、信息论、控制论、最优化方法等；六十年代以后，数学界的思想异常活跃，出现了多种新思潮——非标准分析、模糊数学、突变理论等。3．数学的特点•第一：数学的抽象性•一方面，整数、几何图形及无理数、复数、函数、n维空间等概念都是抽象概念．它们保留了量的关系和空间形式而舍弃了其他一切．•另一方面，数学研究几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中，而不需要求助于其它实践范畴的活动．也就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的．•第二：数学的严谨性•数学的严谨性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性．•第三：数学应用的极其广泛性•著名数学家华罗庚教授曾指出：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学．4．数学命题•概念与定义：揭露概念的内涵的过程就是给这一概念加以定义。•公理：定理证明一般要根据以前已证明过的定理，那么最原始的，不加证明而接受的命题称为公理。•在数学中，每门学科都有自己的公理体系。•定理的结构：(1)条件；(2)结论。•定理的形式：(1)正定理；(2)逆定理，(3)否定理；(4)逆否定理。•定理的可逆性：(1)与(4)互逆，(2)与(3)互逆。•充分条件与必要条件：通常我们用符号＜＝＞表示充分且必要的条件，＜＝必要条件，＝＞充分条件。定理5．数学证明方法按推理程序的顺逆分：•综合法（由已知命题推导出新的命题）•分析法（由新命题推理到已知命题）按论据的普遍性与特殊性分：•演绎法（三段论形式）•数学归纳法等按论证对象是原命题或等效命题分：直接证法与间接证法二．关于微积分•有人认为，只有诗人才需要幻想，这是没有理由的，是愚蠢的偏见！甚至在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分。——列宁•在一切理论成就中，未必有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的胜利了，如果在某个地方我们有人类精神的纯粹和专有的功绩，那就正是在这里。——恩格斯1．微积分的发展与特点•第一阶段：微积分的酝酿•古代中国刘徽创立“割圆术”求圆周率。•古代希腊阿基米德利用德谟克利特的原子论方法得到球面积、旋转曲面面积；利用欧多克斯的穷竭法引入了积分求和法；找到了用几何方式去讨论微分学基本问题的方法。第二阶段：微积分的诞生•微积分又叫无穷小分析，它的产生革新了数学的概念、思想和方法，是人类思维的伟大成果。•牛顿和莱布尼茨作为微积分的创始人，主要完成的工作：澄清概念、提炼方法、改变形式。牛顿（1642-1727），英国著名的物理学家和数学家，被称为“有史以来最伟大的科学家”，他一生为近代自然科学奠定了四个重要的基础：•创建微积分为近代数学奠定基础，为自然科学开辟了道路;•首先进行光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础；•发现力学三大定律，奠定了经典力学的基础；•他发现的万有引力定律，为近代天文学奠定了基础。•莱布尼茨（1646-1716），德国著名的哲学家、数学家，他一生涉及哲学、历史、语言、数学、物理、地质、化学、生物、神学、法律等广阔领域并做出重要贡献。在数学方面，除了是微积分的创始人外，他还是数理逻辑的先驱者，发明了手工操作的计算器等。第三阶段：微积分的进一步发展•一方面，微积分产生了许多新的分支，如变分法、级数理论、微分方程论、函数论等，形成了广阔的分析领域；•另一方面，对它的争论和研究，使微积分的思想和方法不断完善、基础也变得坚实牢固。2．学习微积分的重要性•在经济学（特别是微观经济学）中，需求、供给、价格之间存在一定的函数关系，边际替代率、边际收益要用导数描述，极大利润则需要用到函数极值的计算，……，这里的函数、导数、极值等概念就是我们微积分的研究对象和主要内容，所以希望大家高度重视高等数学这门课的学习，为今后的专业学习打下扎实的基础。同时，微积分也是每年经济类、管理类研究生入学考试的必考内容，在数学这一科目中占到一半以上的比重。•学好这门课，大家会终身受益。3．对同学们的希望和要求明确学习目的•来到大学，目的是培养能力，将来到社会上立足谋生，报答父母，报效祖国；作为专业学习目的，则应把培养自学钻研能力放在首位。•在学习过程中，要始终注重概念、定理、法则的学习。特别要深刻理解基本概念，学会掌握或熟练掌握各部分的基本方法，注意各部分知识结构及知识的内在联系。掌握好的学习方法•要改变中学时期的被动学习的方式，主动学习，培养自学能力。做到：•听课前预习教材；•认真听好课，看与自己预习时理解的有哪些差异；每一个知识点的论述，每一道题的解答步骤，从上一步到下一步，一定要经过自己思考，动脑动手后，再到下一步；•课后先温习老师所讲的内容，再做作业；作业要自觉做，认真做，独立完成；•注意复习，一章一节学会自己小结；•在掌握好教材内容的前提下，适当看参考书。•很多同学学习过微积分，因此特别强调微积分基础与运算的严密性。三．关于这门课的几点说明•上课：按时上课，不迟到早退，认真听讲，详细做笔记；•作业：依进度完成练习册；•答疑：课间与习题课；•考试：统一命题，集中考试预祝大家学习取得好成绩！