11第十一讲三角形中的应用问题

1第十一讲三角形中的应用问题一、引言（一）本节的地位：运用正弦定理、余弦定理解决应用问题在近两年高考试题中出现的频率很高，越来越新颖，是高考的考查内容，高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查．（二）考纲要求：通过本节的学习掌握正弦定理、余弦定理，并能够应用正弦定理、余弦定理解决问题；同时在运用两个定理解决一些实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意识；注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力．（三）考情分析：高考考题中长出现应用正弦定理、余弦定理通过解三角形来解决实际问题、还有些题目与其他知识相结合进行综合考查，体现数学建模思想．二、考点梳理解三角形应用问题的基本思路：建模思想即解三角形应用问题时，通常根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解．三、典型问题选讲（一）与实际问题相结合例1如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得BCDBDCCDs，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．分析：由已知条件首先在BCD△中根据正弦定理求得BC的长，再将问题转化到ABCRt△中使问题得以解决．解：在BCD△中，πCBD．由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD．所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD．2在ABCRt△中，tansintansin()sABBCACB．归纳小结：本题是从实际问题中抽象出两个三角形，然后通过解这两个三角形，得出三角形的边角的关系，从而得出实际问题的解．例2如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）？分析：将问题放在三角形中，通过解三角形将问题解决，因此要连接BC，根据已知条件运用余弦定理求得BC长，再利用正弦定理求出ACB的值．解：连接BC，由余弦定理得222201021020cos120700BC．则107BC．因为sinsin12020107ACB，所以3sin7ACB，又ACB90°，所以41ACB．所以乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．归纳小结：本题要求对“方位角”的概念理解透彻，通过连接BC构造三角形，利用三角形的知识将问题解决．例3如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？3分析：构造三角形，利用余弦定理求解．解法一：如图，连结12AB，由已知22102AB，122030210260AA，1222AAAB，又12218012060AAB∠，122AAB△是等边三角形，1212102ABAA，由已知，1120AB，1121056045BAB∠，在121ABB△中，由余弦定理可得22212111211122cos45BBABABABAB22220(102)2201022200．12102BB．因此，乙船的速度的大小为1026030220（海里/小时）．解法二：如图，连结21AB，由已知1120AB，122030210260AA，112105BAA∠，4cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin602(13)4，sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin602(13)4．在211AAB△中，由余弦定理，22221111211122cos105ABABAAABAA222(13)(102)202102204100(423)．所以2110(13)AB．由正弦定理得：1112111221202(13)2sinsin4210(103)ABAABBAAAB，12145AAB∠，即122604515BAB，2(13)cos15sin1054．在112BAB△中，由已知12102AB，由余弦定理，22212212221222cos15BBABABABAB2222(13)10(13)(102)210(13)1024200．12102BB，乙船的速度为1026030220海里/小时．答：乙船每小时航行302海里．5归纳小结：通过连结线段构造三角形，利用三角形的知识将问题解决．例4如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0，0)，x[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120°．（1）求A，的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？分析：本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识．解法一：（1）依题意，有23A，34T，又2T，6．23sin6yx．当4x时，223sin33y．(4,3)M．又(8,0)p，22435MP．（2）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则0°60°．由正弦定理得sin120sinsin(60)MPNPMN．103sin3NP，所以103sin(60)3MN．故10310310313sinsin(60)(sincos)33322NPMN103sin(60)3．0°60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长．即将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长．解法二：（1）同解法一．（2）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得222cosMNNPMNNP∠MNP=2MP．即2225MNNPMNNP．故22()25()2MNNPMNNPMNNP．6从而23()254MNNP，即1033MNNP．当且仅当MNNP时，折线段道MNP最长．归纳小结：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①123943(26N，）；②123943(26N，）；③点N在线段MP的垂直平分线上等．考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．例5如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km．试探究图中B、D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B、D的距离（计算结果精确到0.01km，21．414，62．449）.分析：根据图形找到所需的三角形，利用正弦定理求解．解：在△ACD中，DAC＝30°，ADC＝60°－DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1km．又BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是DAC底边AD的中垂线，所以BD＝BA．在ABC中，ABCACBCAABsinsin，即AB＝2062351sin60sinAC．因此，km33.020623BD．故B、D的距离约为0.33km．归纳小结：本题是从实际问题中抽象出两个三角形，得出三角形的边角的关系，从而得出实际问题的解．例6为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．7分析：此题为开放型问题，通过设计方案更有利于考查对知识理解与掌握．解：方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角11,；B点到M、N的俯角22,；A、B的距离d．如图：②第一步：计算AM．由正弦定理212sinsin()dAM；第二步：计算AN．由正弦定理221sinsin()dAN；第三步：计算MN．由余弦定理22112cos()MNAMANAMAN．方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1，1；B点到M、N点的俯角2，2；A、B的距离d．如图：8②第一步：计算BM．由正弦定理112sinsin()dBM；第二步：计算BN．由正弦定理121sinsin()dBN；第三步：计算MN．由余弦定理22222cos()MNBMBNBMBN．归纳小结：此问题更能体现考纲所倡导的理念，更有利于考查分析问题、解决问题的能力．（二）与其他知识综合例7在ABC△中，已知内角A，边23BC．设内角Bx，周长为y．（1）求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值．分析：应用正弦定理将y转化为x的函数，利用函数知识求解．解：（1）ABC△的内角和ABC，由00ABC，，得20B．应用正弦定理，得23sinsin4sinsinsinBCACBxxA，2sin4sinsinBCABCxA．因为yABBCAC，所以224sin4sin2303yxxx，（2）因为14sincossin232yxxx9543sin23xx，所以，当x，即x时，y取得最大值63．归纳小结：本题将三角函数公式、正弦定理、函数性质相结合，考查综合解题能力．例8,1,3450.ABCOOAOBOC内接于以为圆心为半径的圆且（1）求数量积,,;OAOBOBOCOCOA（2）求ABC的面积.分析：本题运用向量知识及三角形面积公式求解．解：（1）||||||1,345OAOBOCOAOBOC由条件可得．两边平方得2229||2416||25||OAOAOBOBOC．0OAOB．同理可得43,.55OBOCOCOA（2）由0,OAOBOAOB可得11||||22AOBSOAOB．由44,cos,55OBOCBOC得3sin5BOC．13||||sin210BOCSOBOCBOC．由33,cos,55OCOACOA得4sin5COA．12||||sin25AOCSOBOCCOA．即可得132621055ABCAOBBOCCOASSSS．归纳小结：熟练掌握向量知识中的运算法则，结合三角函数知识使问题解决．四、本专题总结（1）本节课包含应用建模思想即解三角形应用问题时，通常根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实10际问题的解，同时在运用两个定理解决一些实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意识；注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力．（2）应注意的问题：解三角形应用问题时，由于具体问题中给出的数据通常均为有效近似值，故运算过程比较复杂，可借助计算器进行运算，也应达到算法简炼