计算传热学 第2讲 传热问题的数学描述

计算传热学第2讲传热问题的数学描述传热问题的数学描述MathematicalDescriptionofHeatTransferMathematicalDescriptionofHeatTransferProblemsProblems能源动力学院唐豪[e-mail]aduates(RevisionA)引言引言„„数值计算的出发点：数学模型数值计算的出发点：数学模型„„数学模型（数学模型（Mathematicalmodel)Mathematicalmodel)„„控制方程（控制方程（Governingequations)Governingequations)„„基于基本原理与定律基于基本原理与定律„„偏微分方程组偏微分方程组„„定解条件（定解条件（BoundaryconditionsBoundaryconditions））„„坐标系不同，控制方程的形式不尽相同坐标系不同，控制方程的形式不尽相同„„适当选取坐标系可以简化分析适当选取坐标系可以简化分析„„必要的简化与化简必要的简化与化简2.12.1控制方程控制方程„„传热的三种模式（传热的三种模式（ModesofheattransferModesofheattransfer))„„热传导（热传导（Thermalconduction)Thermalconduction)„热对流（Thermaladvection)„„对流换热（对流换热（Convectionheattransfer)Convectionheattransfer)„„热辐射（热辐射（Thermalradiation)Thermalradiation)„„辐射换热（辐射换热（RadiationheattransferRadiationheattransfer))„关系：„共存，相互影响„„辐射的特殊性辐射的特殊性„可以忽略„以边界条件的形式给出2.1.1热传导„Definition„Fourier’sLawnnTTqGG∂∂−=−=λλgrad„λ导热系数„gradT温度梯度2.1.1热传导„EnergyConservationEquationVVqTqTcT+=+∇⋅∇=∂∂)grad(div)()(λλρτ„符号意义，单位„τtime„λthermalconductivity„ρspecificheat„qVheatsource2.1.1热传导„OperatorsCartesian()()())(gradzkyjxi∂∂+∂∂+∂∂=GGGlCylindrica()()1()zkrjrizr∂∂+∂∂+∂∂=GGGϕϕSpherical()sin1()1()ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=rkrjrirGGGCoordinateSystemsxzyox-y-zxzyorϕr-ϕ-zrxzyoϕθr-ϕ-θ2.1.1热传导„OperatorsCartesian)()()()(divzyxRzRyRxR∂∂+∂∂+∂∂=G利用这些公式，可以得到不同坐标系下的导热微分方程利用这些公式，可以得到不同坐标系下的导热微分方程lCylindrica)()(1)(1zrRzRrrRrr∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕSpherical)]()sin([sin1)(122ϕθϕθθθRRrRrrrr∂∂+∂∂+∂∂=2.1.2对流换热„Definition&Complexity„„NewtonNewton’’sCoolingLawsCoolingLaw)(fwTTq−=α0)(=⋅∇+∂∂UtGρρ0)(0)(0=⋅∇=⋅∇=∂∂UUGGρτρ„„ContinuityEquationContinuityEquation„MassConservation„符号意义„Forincompressibleflow:2.1.2对流换热„„MomentumEquationsMomentumEquations„ReferstoTextBook„来源、个数、基本原理„体积（第二）粘度系数secondviscositycoef.„Notwell-defined„Contradictoryconclusions„Lessimportantformostofthepracticalcases„Relatedtothedivergenceofvelocity„符号的意义„关于黏性耗散函数的说明：„由来及地位„„EnergyEquationEnergyEquation„EnergyConservationor1stLawofThermodynamics„TheEquation:2.1.2对流换热Φ++⋅∇+−=⋅∇+∂∂hSTUphUht)grad()(div)()(λρρGGWorkbyWorkbypressurepressureConductionConductioneffectseffectsVolumetricsourceDissipationDissipationeffectseffects2.1.2对流换热„„TheHeatTransferCoefficientTheHeatTransferCoefficient„TheDefinition:Newton’sCoolingLaw„TheEquationfwwTTnT−∂∂−=λα„推导方法：原理及依据„Boundary-layerTheorynKxTwTfu2.1.3通用方程„由来及意义„TheEquationφφφφρρφSUt+Γ⋅∇=⋅∇+∂∂)grad()()(G„φ通用变量，generalizeddependentvariable„ρ广义密度，universaldensity„U速度向量（场），velocityvector(field)„Γφ广义扩散系数，universaldiffusivity„Sφ广义源项，（universal)sourcetermUnsteadytermConvectiontermDiffusiontermSourceterm2.1.3通用方程„对流-扩散方程（Convection-diffusion~)„适当选择φ、ρ、U、Γφ、Sφ„φ＝T，ρ＝ρc，U=0，Γφ＝λB导热微分方程„φ＝1，ρ＝ρ，Sφ＝0B连续性方程„Whydoweneedagenericequation?„„各类问题的共同特征各类问题的共同特征„„深化理论研究（深化理论研究（numericalnumerical））„„编制通用程序（编制通用程序（universalprogramforallproblems)universalprogramforallproblems)2.1.4控制方程的数学特征„„守恒特性（守恒特性（Conservation&nonConservation&non--conservation)conservation)„„守恒型方程守恒型方程ConservationformConservationform„对流项是以散度的形式给出的„„非守恒型方程非守恒型方程„对流项不是不是以散度的形式给出的„Forincompressibleflows,hSThUht+⋅∇=⋅∇+∂∂)grad()()(λρρG„具有守恒特性„但是，对于同一方程，采用下述变换后，就成为非守恒型方程对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守恒方程或非守恒方程，通常没有本质的差别，但在离散的数值计算中，守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别，尤其是求解含激波等弱解问题时。故方程的守恒性是计算流体力学中，必须特别注意的问题。2.1.4控制方程的数学特征△当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时，不同类型的微分方程，其数值处理方法各异，其中包括定解条件提法的适定性、物理解的性质、差分格式的适用性等。△在一些特殊的问题中，甚至通过差分格式的特技巧来改变方程的数学性质。2.1.4控制方程的数学特征2.1.4控制方程的数学特征„因为，)()()()(hwzhvyhuxUhρρρρ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇G)()(divzhwyhvxhuUh∂∂+∂∂+∂∂+=ρρG)()]()()([zhwyhvxhuwzvyuxh∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρρ)(zhwyhvxhu∂∂+∂∂+∂∂=ρ对于不可压缩流体，按连续性方程div(ρU)＝02.1.4控制方程的数学特征„代回原方程，得到hSTzhwyhvxhuth+⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)grad()(λρ„显然，它不具有守恒特性，是非守恒型非守恒型的„数学上，两种形式的方程必然给出相同的解„数值计算时，守恒型方程„„便于有限单元的分析便于有限单元的分析„„简化了积分过程简化了积分过程„得到了广泛的应用„„非守恒型方程不便于积分，但是非守恒型方程不便于积分，但是„离散化时灵活运用连续性方程„相同的结果2.1.4控制方程的数学特征„控制方程的分类„椭圆型方程（ellipticequations）„稳态导热问题„稳态非边界层对流换热问题„„数学及数值特征数学及数值特征：„边值问题，boundaryvalueproblems„封闭边界，稳态„整体求解„联立求解，各点间相互影响Pxy02222=+∂∂∂∂yuxu(,)ufxyΓ=(,)ufxynΓ∂=∂椭圆型偏微分方程第一类边界条件：Dirichlet问题第二类边界条件：Neumann问题第三类边界条件：Robin问题),()(yxfhunuk=+∂∂Γ2.1.4控制方程的数学特征„控制方程的分类„„抛物型方程（抛物型方程（parabolicequationsparabolicequations））„非稳态导热问题„边界层流动问题（流动方向）„„数学及数值特征数学及数值特征：„初值问题，initialvalueproblems„开口边界，非稳态„步进法（marchingforward）求解Pxy影响区影响区非影响区非影响区初值抛物型偏微分方程22xutua∂∂=∂∂()ugtΓ=()ugtnΓ∂=∂第一类边界条件)()(tghunuk=+∂∂Γ第二类边界条件第三类边界条件2.1.4控制方程的数学特征„控制方程的分类„„双曲型方程（双曲型方程（hyperbolicequationshyperbolicequations））„波动方程„非Fourier导热问题„无粘流体的稳定超音速流动问题„无粘流体的非稳定流动„„数学及数值特征数学及数值特征：„部分边界，局部影响区域„特征线方法（characteristics）xy对对PP有影有影响的边界响的边界P点点PP的的依赖区依赖区点点PP的的影响区影响区双曲型偏微分方程0=∂∂+∂∂xuatu解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提边值问题要结合特征线走向。2.1.4控制方程的数学特征„单通道坐标与双通道坐标„„单通道（单向）坐标单通道（单向）坐标oneone--waycoordinatewaycoordinate„扰动仅能沿一个方向传递„该坐标任一点处的物理量仅受来自一侧条件的影响„例子：时间坐标；边界层流动中的主流坐标„数学上：抛物方程，初值问题„数值方法上：可以采用逐步推进法逐步推进法求解„„双通道（双向）坐标双通道（双向）坐标twotwo--waycoordinatewaycoordinate„扰动和影响都是双向的„例子：导热问题中的空间坐标，等„数学上：椭圆型的，边值问题„数值方法上：必须联立联立求解2.1.4控制方程的数学特征„„边界层问题或抛物型问题边界层问题或抛物型问题„有一个空间坐标是单向坐标„„回流问题或椭圆型问题回流问题或椭圆型问题„所有空间坐标都是双向坐标„单向坐标与一阶偏导数有关„双向坐标与二阶偏导数有关hSxTxyTvxTuc+∂∂∂∂=∂∂+∂∂)()(λρ哪个坐标是单向哪个坐标是单向的？哪个坐标是双的？哪个坐标是双向的？向的？xxisatwoisatwo--waywaycoordinate!coordinate!2.2定解条件„„数学模型数学模型Mathematicalmodel/d