122第二节可分离变量齐次方程的求解

第二节可分离变量、齐次方程的求解教学目标：1、掌握可分离变量微分方程的解法.2、掌握齐次方程和可化为齐次的方程的解法.课时安排：2课时重点：利用常数变易法求非齐次线性方程的通解难点：用变量代换求解方程教学法：讲授法12345，全微分方程（不讲），可分离变量一阶微分方程的求解，齐次的，一阶线性的（重点），伯努利（变换为一阶线性的）一．可分离变量的方程1、类型：形如dxfxgygydyfxdxdy或；2、解法gydyfxdx；3、例题分析：0MMMt例1.铀衰变速度与未衰变原子含量成正比，已知初始质量为，求的衰变规律000000,,lnttctcttdMMMMdtdMdMdtdtMtcMMMeeeceMCEcMMMe解：011111111ln1ln1lnln11111xyxxyxxxxyxxyyxyxyyxyxyxyxyxyxxyyxxeedxeedyeedyeeeedxeeeeeeeeeedydxdydxeeeeceececeeece例二，求解解：写出关系即即可不用求出具体的xy，的显表达式）'''''2'2222'2'2222222...112...21,1111ln1211fxxfxxfxfxxfxxxfxxfxxdfxxxxxxfxxxfxdfxdxdxxxxxdfxdxxxxfxdxdxxxarctgxxx例3试求满足方程的解：得:2222,0100,11,0111arcsin10000arcsinxyyxxyyxydyxxdxxxdydxyxcxycyx例4设函数满足：其中为时的高阶无穷小，求的表达式。解：二、齐次方程（可化为可分离变量的方程）1、形式：2''222211ydyydyxxyyxdxxdxxxyyx如2、解法：,,ydyduuyxuuxxdxdx令dududxuxudxuux原方程变为：（这是可一个分离变量的方程）3、例题分析。coscos0coscos,coscos,1cos1cos11coscoscossinlnlnlnarcsinlnyyxydxxdyxxyyyyyydyxxxxyydxxxxydydyuyxuuxxdxdxduuuuxdxududuxdxudxxudxcuduuxcxxcu例1求的解。解：令于是原方程变为：两边积分arcsinlncyxxx2222111arctanarctan1dyxydxxyuyuxdydududuuudxdxdxdxdudxuxcxyxcu例2求的解。解：令原方程变为：''lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlnlncxcxcxxyyyxyuxyyxyxyuyxduududxdudxudxxuuxuxuxccxeucxueexyyx例3求的通解。解：不是分离变量也不是齐次的作变换原式令Ex：p2692p2762（1）