12秋数学与应用数学本科《复变函数》模拟试卷及答案(一)

1数学与应用数学（本科）专业《复变函数》模拟试卷及答案（一）一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.设yxzi，则x可用z表示为（）．(A)2zz(B)2zz(C)i2zz(D)i2zz2.若yxzi，则上半平面可表示为（）．(A)0Imz(B)0Imz(C)0Imz(D)0Imz3.2d1azzaz（）．(A)0(B)1(C)iπ2(D)iπ24.函数zzfe)(在复平面上可表示为（）．(A)2!nnnz(B)0!nnnz(C)1!nnnz(D)2nnnz5.设zzfsin)(，则),2,1,0(πkkz为)(zf的（）．(A)一级零点(B)二级零点(C)三级零点(D)四级零点二、填空题（本题共20分，每小题4分）1.设yx,为实数，称形如),(yx的为复数．2.设yxzi，则称ze为指数函数，其中“e”为自然对数的底．3.若存在某个),(aN，使得，则称点a为函数)(zf的解析点．4.函数zzf11)(在点1z展成罗朗级数，即在内展成罗朗级数．5.若映射)(zfw在区域G内是，则称此映射为区域G内的保形映射．2三、计算题（本题共45分,每小题15分）1.设233xyxu，试求解析函数vuzfi)(，使得233xyxu，且满足0)i(f．2.设21)(zzf，试将)(zf在点1z展成幂级数．3.计算积分73d)1)(1(1zzzzz．四、证明题（本题共15分）试证：若392)(269zzzzzf，则)(zf在1z内只有一个零点．3答案一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.B2.C3.D4.B5.A二、填空题（本题共20分，每小题4分）1.有序数对2.)sini(coseyyx3.)(zf在),(aN内处处可导4.10z5.单叶且保角的三、计算题（本题共45分,每小题15分）1.解：由C－R条件有yxvyxu2233，所以)(332xyyxv又因为xyvu，得)(0x，所以cx)(所以cyyxv323由此得)3(i)3()(3223cyyxxyxzf由0)i(f得1c，故)13(i)3()(3223yyxxyxzf经验证)13(i)3()(3223yyxxyxzf或i)(3zzf即为所求．2.解：)(zf在31z内可展成幂级数，有31121)(zzzf)]31(1[31)311(31zz03)1()1(31nnnnz013)1()1(nnnnz，31z3.解：令)1)(1(1)(3zzzzf因为)(zf在积分路径7z的内部含有三个奇点0z，1z与1z，所以)]1,(Res)1,(Res)0,(Res[iπ2d)1)(1(173fffzzzzz4而1])1)(1(1[lim!21)0,(Res330zzzzfz21)1)(1(1)1(lim)1,(Res31zzzzfz21)1)(1(1)1(lim)1,(Res31zzzzfz故得0d)1)(1(173zzzzz四、证明题（本题共15分）证：令32)(,9)(269zzzzzzg因)(zg与)(z均在1z上解析，且在1z上有9)(,732)(269zgzzzz即)()(zgz所以，)()()(zzgzf与)(zg在1z内有相同个数的零点．而zzg9)(在1z内只有一个零点，故)(zf在1z内只有一个零点．