12第八章傅立叶变换

第八章傅立叶变换§1.傅立叶变换的概念一.傅立叶级数定理1设tfT是以T为周期的实函数,且在2,2TT上满足狄利克雷条件,即:(1)连续或至多有有限多个第一类间断点,(2)只有有限多个极值点.则在tfT的连续点处有,sincos21000nnnTtnbtnaatf其中.2,1sin2,2,1,0cos2,22202200ntdtntfTbntdtntfTaTTTTnTTTn称上式为傅立叶级数的三角形式.设,2,12,2,200njbacjbacacnnnnnn则有,0ntjnnTectf其中22,2,1,010TTtjnTnndtetfTc称上式为傅立叶级数的复指数形式.称nc为周期函数tfT的离散频谱，称nc为离散振幅谱，称ncarg为离散相位谱.例1.求以T为周期的函数202020Tt,,tT,tfT的离散频谱和它的傅立叶级数的复指数形式.二.傅立叶积分与傅立叶变换1.傅立叶积分公式定理2(傅立叶积分定理)如果实值函数f(t)在区间,上的任意一个有限区间上满足狄利克雷定理的条件,且在区间,上绝对可积,则有.21dedeftftjj在连续点处成立,在间断点处,等式左侧为.0021tftf称上式为傅立叶积分公式.2.傅立叶积分变换在傅立叶积分公式中,令:defFj,则有.21deFtftj定义：称式defFj为傅立叶变换,称F为tf的像函数,记作F=Ftf称式deFtftj21为傅立叶逆变换,称tf为F的像原函数,记作tf=FF1.例2.求矩形脉冲函数001t,.t,tf的傅立叶变换及傅立叶积分表达式.例3.已知tf的频谱为,,,,F010求tf.例4.求单边指数衰减函数0000t,.t,etft的傅立叶变换，并画出频谱图.例5设FFtf,证明：若tf为奇函数,则F也是奇函数.(即:FF)§2.单位脉冲函数（函数）一.单位脉冲函数的概念及性质若函数满足条件:(1)当0t时,0t;(2)1dtt.则称t为单位脉冲函数.性质1设tf为定义在R上的有界函数,且在0t处连续,则,0fdttft一般地,若tf在0tt处连续,则有.00tfdttftt性质2函数为偶函数,即.tt性质3设tu为单位阶跃函数,即.0,0,0,1tttu则有.,tdttdutudttt例6.给出函数00F的图形表示，其中.00例7.分别求函数11tf与tjetf02的傅立叶变换.例8.试证单位阶跃函数u(t)的傅立叶变换为.j1例9.求tcostf0的傅立叶变换.定理3设tf是以T为周期的实值函数，且在2,2TT上满足狄利克雷条件,则tf和nnnFF002是一组傅立叶变换对。其中00,2nFT是tf的离散频谱。§3.傅立叶变换的性质一.基本性质1.线性性质设FFtf,GFtg,,为常数,则FtgtfGF,FtgtfGF1.2.位移性质设FFtf,00,t为实常数,则FFettftj00,FtfeFtj001.问题：该性质还有什么形式？例10.已知，为实常数00,01jG求tgFG1.3.相似性质设FFtf,a为非零常数,则FaFaatf1.例11.已知抽样信号ttsintf2的频谱为.,,,F2021求信号2tftg的频谱.G4.微分性质(1)导数的像函数若,0limtft则FjtfFtf,一般地,若,1,1,0,0limnktfkt则FnnjtfFtf.(2)像函数的导数FddFjtftjF.tft一般地有,nnnjdFdFtftn.在实际使用时，经常使用的是该公式的另一种形式：FtftnnnndFdj例如：求F.t5.积分性质设tdftg,若,0limtgt则Fjtg1Ftf.6.帕塞瓦尔等式设FFtf,则有dFdttf2221.例12.求积分dsin022的值.二.卷积与卷积定理1.卷积定义：设tf1与，在tf2内有定义.若广义积分dtff21对任意实数t均收敛,则该积分定义了一个以t为自变量的实函数,称此函数为tf1与tf2的卷积,记作tftf21.即tftf21dtff21.卷积性质tftftftf1221tftftftftftf321321tftftftftftftf3121321例13.求下列函数的卷积.0,0,0,ttetft.0,0,0,ttetgt其中.;,且00例14.求下列函数的卷积,tttf2.t,,t,tg10112.卷积定理定理设1FFtf1,2FFtf2,则有Ftftf2121FF,Ftftf212121FF.例15.求下列函数的卷积,sintttf,sintttg例16.设,0cos0ttetft求F[f(t)].三.综合举例例17.设tf是以周期为T的实值函数,且在[22T,T]上满足狄利克雷条件，证明.12002nTnFdttfT其中,T200nF为tf的离散频谱.例18.设tf是定义在,上的实值函数,且存在傅立叶变换F=F[f(t)],证明022dF022dF.例19.试证明.tcosetdcost042422例20.已知,dtet2求f(t)=2te的傅立叶变换.